자연계열 2번

[1] $\displaystyle a_{n}=a r^{n-1}$와 $\displaystyle \sqrt[p]{r s}=\sqrt[p]{r} \sqrt[p]{s}$이므로

$\displaystyle b_{1}=\sqrt[p]{a_{1}}=a^{\frac{1}{p}}$,

$\displaystyle b_{2}=\sqrt[p]{a_{1} \sqrt[p]{a_{2}}}=\sqrt[p]{a_{1}} \sqrt [p]{\sqrt[p]{a_{2}}}=a^{\frac{1}{p}}(a r)^{\frac{1}{p^{2}}}=a^{\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}} r^{\frac{1}{p^{2}}}$,

$\displaystyle b_{3}=\sqrt[p]{a_{1} \sqrt[p]{a_{2} \sqrt[p]{a_{3}}}}=\sqrt[p]{a_{1}} \sqrt [p]{\sqrt[p]{a_{2}}} \sqrt [p]{\sqrt [p]{\sqrt[p]{a_{3}}}}=a^{\frac{1}{p}}(a r)^{\frac{1}{p^{2}}} \left (a r^{2} \right )^{\frac{1}{p^{3}}}=a^{\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{3}}} r^{\frac{1}{p^{2}}+\frac{2}{p^{3}}}$,

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle b_{n}=a^{\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+ \cdots +\frac{1}{p^{n}}} r^{\frac{1}{p^{2}}+\frac{2}{p^{3}}+ \cdots +\frac{n-1}{p^{n}}}=a^{\sum _{k=1}^{n} \frac{1}{p^{k}}} r^{\sum _{k=2}^{n} \frac{k-1}{p^{k}}} ~(n \ge 2)$

$\displaystyle b_{n}$에서 첫째항 $\displaystyle a$의 지수는 $\displaystyle \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{p^{k}}=\frac{\frac{1}{p} \left (1- \left (\frac{1}{p} \right )^{n} \right )}{1-\frac{1}{p}}=\frac{1- \left (\frac{1}{p} \right )^{n}}{p-1}$

$\displaystyle b_{n}$에서 공비 $\displaystyle r$의 지수를 $\displaystyle S_{n}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{2}{p^{3}}+ \cdots +\frac{n-1}{p^{n}}$라고 하면 $\displaystyle \frac{1}{p} S_{n}=\frac{1}{p^{3}}+\frac{2}{p^{4}}+ \cdots +\frac{n-2}{p^{n}}+\frac{n-1}{p^{n+1}}$이므로

$\displaystyle \left (1-\frac{1}{p} \right ) S_{n}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{3}}+ \cdots +\frac{1}{p^{n}}-\frac{n-1}{p^{n+1}}=\frac{\frac{1}{p^{2}} \left\{1- \left (\frac{1}{p} \right )^{n-1} \right\}}{1-\frac{1}{p}}-\frac{n-1}{p^{n+1}}$

$\displaystyle S_{n}=\frac{\frac{1}{p^{2}} \left\{1- \left (\frac{1}{p} \right )^{n-1} \right\}}{ \left (1-\frac{1}{p} \right )^{2}}-\frac{n-1}{ \left (1-\frac{1}{p} \right ) p^{n+1}}$

따라서 $\displaystyle b_{n}=a^{\frac{1}{p-1} \left\{1- \left (\frac{1}{p} \right )^{n} \right\}} r^{S_{n}}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac n{p^n}=0$을 이용하면$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}a^{\frac1{p-1}\{1-(\frac1p)^n\}}r^{S_n}=a^{\frac1{p-1}}r^{\frac1{(p-1)^2}}$

[2] ($\displaystyle \mathrm{i}$) 함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (나)를 성립하려면 일대일대응이어야 한다. 증가함수는 일대일대응이므로 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+3 \ge 0$

판별식 $\displaystyle D=4 \left (a^{2}-9 \right ) \le 0$, 즉 $\displaystyle -3 \le a \le 3$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) 조건 (다)에서 방정식 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 근은 방정식 $\displaystyle f(x)=x$의 근과 일치한다.

$\displaystyle f(x)-x=x^{3}+a x^{2}+2 x=x \left (x^{2}+a x+2 \right )$이 음이 아닌 서로 다른 세 실근을 가지려면,

방정식 $\displaystyle x^{2}+a x+2=0$는 서로 다른 양의 근을 가져야한다.

이를 위해서는 $\displaystyle y$절편이 $\displaystyle 2$이므로 대칭축 $\displaystyle -\frac{a}{2}>0$이고 판별식 $\displaystyle D=a^{2}-8>0$

즉 $\displaystyle a<-2 \sqrt {2}$

($\displaystyle \mathrm{i}$), ($\displaystyle \mathrm{ii}$) 그리고 조건 (가)로부터 $\displaystyle a=-3$

$\displaystyle f(x)-x=x^{3}-3 x^{2}+2 x=x \left (x^{2}-3 x+2 \right )=x(x-1)(x-2)=0$의 근은 $\displaystyle x=0,~1,~2$

두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면

$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1|f(x)-f^{-1}(x)|dx+\int_1^2|f(x)-f^{-1}(x)|dx\\&=2\int_0^1(f(x)-x)dx+2\int_1^2(x-f(x))dx\\&=2\int_0^1(x^3-3x^2+2x)dx+2\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)dx\\&=2\left(\Biggl[\dfrac{x^4}4-x^3+x^2\Biggr]_0^1+\Biggl[-\dfrac{x^4}4+x^3-x^2\Biggr]_1^2\right)=2\left(\dfrac14-\dfrac{15}4+7-3\right)=1\end{aligned}$

[3] $\displaystyle 3^{x}=t,~ f(t)=t^{2}-8 t+K+5$라고 하자. 그리고 $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle t>1$

주어진 방정식이 서로 다른 양의 실근을 가진다면 방정식 $\displaystyle f(t)=0$은 $\displaystyle t>1$에서 서로 다른 두 근을 가진다.

이를 위해서 다음 두 조건이 만족되어야 한다.

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle f(1)=K-2>0$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle f(4)=K-11<0$( $\displaystyle t=4$는 대칭축)

($\displaystyle \mathrm{i}$)과 ($\displaystyle \mathrm{ii}$)로부터 $\displaystyle 2<K<11$

확률변수 $\displaystyle Z=\frac{K-5}{3}$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,~1)$을 따르므로

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(2<K<11)&=\mathrm P\left(\dfrac{2-5}3<Z<\dfrac{11-5}3\right)=\mathrm P(-1<Z<2)\\&=\mathrm P(-1<Z<0)+\mathrm P(0<Z<2)\\&=\mathrm P(0\le Z\le1)+\mathrm P(0\le Z\le2)\\&=0.3413+0.4772=0.8185\end{aligned}$

[4]

(1) (연속성)

($\displaystyle \mathrm{i}$) 함숫값 $\displaystyle f(1)=g(1) \ln 1=0$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) 좌극한 $\displaystyle \lim _{x \to 1-} f(x)=\lim _{x \to 1-}(-x \ln x)=0$, 우극한 $\displaystyle \lim _{x \to 1+} f(x)=\lim _{x \to 1+} e^{x} \ln x=0$

($\displaystyle \mathrm{i}$)과 ($\displaystyle \mathrm{ii}$)로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속

(미분가능성)

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle \lim _{h \to 0-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0-} \frac{-(1+h) \ln (1+h)}{h}=\lim _{h \to 0-} \left\{-(1+h) \right\} \lim _{h \to 0-} \ln (1+h)^{\frac{1}{h}}=- \ln e=-1$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle \lim _{h \to 0+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0+} e^{1+h} \frac{ \ln (1+h)}{h}=\lim _{h \to 0+} e^{1+h} \lim _{h \to 0+} \ln (1+h)^{\frac{1}{h}}=e \ln e=e$

($\displaystyle \mathrm{i}$)과 ($\displaystyle \mathrm{ii}$)로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하지 않다.

(2) $\displaystyle \begin{aligned}\int_1^e(1+x)f(x)dx&=\int_1^e(1+x)e^x\ln x\,dx=\int_1^e(xe^x)^{\prime}\ln x\,dx\\&=\Biggl[xe^x\ln x\Biggr]_1^e-\int_1^ee^xdx=e^{e+1}-e^e+e\end{aligned}$