자연계열 2번

(2-1) 지점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 오른쪽 수평 방향으로 $\displaystyle z\mathrm{m}\;(z\ge0)$를 달리고 그 위치부터 지점 $\displaystyle \mathrm{P}$까지 곧게 수영을 하는 경우, 걸리는 총 시간(단위: 초)을 $\displaystyle f(z)$라 하면$\displaystyle f(z)=\frac z2+\sqrt{(80-z)^2+(10\sqrt3)^2}\quad(0\le z\le80)$이 된다.

함수 $\displaystyle f(z)$의 도함수를 계산하면$\displaystyle f\prime(z)=\frac12-\frac{80-z}{\sqrt{(80-z)^2+(10\sqrt3)^2}}$

이며, $\displaystyle 0\le z\le80$일 때$\displaystyle \begin{aligned}f\prime(z)=0&\iff2(80-z)=\sqrt{(80-z)^2+300}\\&\iff4(80-z)^2=(80-z)^2+300\\&\iff3(80-z)^2=300\\&\iff z=70\end{aligned}$이고 $\displaystyle 0\le z<70$일 때 $\displaystyle f\prime(z)<0$이고 $\displaystyle 70<z\le80$일 때 $\displaystyle f\prime(z)>0$이므로 $\displaystyle z=70$일 때 함수 $\displaystyle f$는 최솟값 $\displaystyle f(70)=55$를 갖는다.

따라서 최소 시간은 55초이다.

(2-2) 같은 방법으로 $\displaystyle f(z)=\frac z2+\sqrt{(x-z)^2+y^2}\;(0\le z\le x,\;y\ge0)$의 도함수를 계산하면

$\displaystyle f\prime(z)=\frac12-\frac{x-z}{\sqrt{(x-z)^2+y^2}}$

이며, $\displaystyle 0\le z\le x$이고 $\displaystyle y\ge0$일 때$\displaystyle \begin{aligned}f\prime(z)=0&\iff2(x-z)=\sqrt{(x-z)^2+y^2}\\&\iff4(x-z)^2=(x-z)^2+y^2\\&\iff3(x-z)^2=y^2\\&\iff\sqrt3(x-z)=y\\&\iff z=x-\frac y{\sqrt3}\end{aligned}$이다. 또한 $\displaystyle 0\le z<x-\frac y{\sqrt3}$일 때 $\displaystyle f\prime(z)<0$이고 $\displaystyle \frac y{\sqrt3}<z\le x$일 때 $\displaystyle f\prime(z)>0$이므로 $\displaystyle z=x-\frac y{\sqrt3}$일 때 함수 $\displaystyle f$는 최솟값을 갖는다.Correction. (2-2)에서 도함수가 양수인 구간의 왼쪽 경계는 $\displaystyle \frac y{\sqrt3}$가 아니라 $\displaystyle x-\frac y{\sqrt3}$이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

이 식에 $\displaystyle z=50$을 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle y=\sqrt3(x-50)\quad(x\ge50)$

따라서 $\displaystyle z>0$인 경우 60초 안에 수상안전원이 도착할 수 있는 영역을 나타내는 식은 다음과 같다. (그림 2 참조)$\displaystyle \left\{(x,y)\mid0\le y\le-\frac{\sqrt3}3(x-120),\;0\le y<\sqrt3x\right\}$ …… (2)

따라서 수상 안전원이 60초 안에 도달할 수 있는 바다의 모든 지점들로 이루어진 영역은 그림 3에서 어두운 색으로 표시된 곳이며,

이 영역의 넓이를 계산하면 $\displaystyle 3600\sqrt3+600\pi\;\mathrm{m}^2$이다.