자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle x>0$이면 평균값정리에 의해 $\displaystyle s\in(0,x)$가 있어서 $\displaystyle f(x)=f(x)-f(0)=xf\prime(s)>0$가 된다.

$\displaystyle f(t)$가 미분가능하므로 $\displaystyle V\prime(t)$도 미분가능하다. 그런데 문제의 조건 $\displaystyle V\prime(t)=aV(t)+b$의 양변을 미분하면 $\displaystyle V\prime\prime(t)=aV\prime(t)$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle \frac{V\prime\prime(t)}{V\prime(t)}=a$의 양변을 적분하면 $\displaystyle \ln V\prime(t)=at+C$가 되어 정리하면 $\displaystyle V\prime(t)=Ae^{at}$가 된다. 다시 양변을 적분하면 $\displaystyle V(t)=A_1e^{at}+B_1$이 성립한다. $\displaystyle V(t)$가 $\displaystyle t=0$에서 연속함수이므로 $\displaystyle V(0)=A_1+B_1=0$, 즉 $\displaystyle B_1=-A_1$이다. $\displaystyle V(t)=A_1(e^{at}-1)$에서

가 성립하므로 $\displaystyle e^a=2$, $\displaystyle A_1=1$이다. 따라서 $\displaystyle V(t)=2^t-1$이므로 $\displaystyle V\prime(t)=2^t\ln2$가 되어 $\displaystyle a=b=\ln2$이다.

(1-3) (1-2)에서 얻은 결과 $\displaystyle V(t)=2^t-1$를 이용하면 $\displaystyle 2^t-1=\int_0^{\sqrt t}\pi f(y)^2\,dy$가 성립하고

양변을 미분하면 $\displaystyle 2^t\ln2=\pi f(\sqrt t)^2\frac1{2\sqrt t}$가 된다. $\displaystyle x=\sqrt t$로 놓으면 $\displaystyle f(x)^2=\frac{2x\cdot2^{x^2}\ln2}{\pi}$가

되어 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x\cdot2^{x^2}\ln2}{\pi}}$이다.