수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

세종대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2016su/jayeon_2

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[문제 2] 아래 글을 읽고, 각 물음에 답하시오.

두 평면 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 이면각을 θ(0<θ<π2)\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac\pi2\right), 교선을 L\displaystyle L이라 하자. 점 A는 교선 L\displaystyle L 위에 있다. 삼각형 ABC는 평면 α\displaystyle \alpha 위에 있고 β\displaystyle \beta 위로의 정사영은 정삼각형이다. 점 B와 C의 β\displaystyle \beta 위로의 정사영을 각각 B′, C′이라 하고, 선분 AB′과 교선 L\displaystyle L이 이루는 각을 w(0<w<π3)\displaystyle w\left(0<w<\frac\pi3\right)라 하자.

두 평면과 삼각형 ABC의 정사영

(2-1) 직선 B′C′과 교선 L\displaystyle L이 이루는 예각이 u\displaystyle u이고 sin⁡w=13\displaystyle \sin w=\frac13일 때, sin⁡u\displaystyle \sin u의 값을 구하시오. (50점)

(2-2) 정삼각형 AB′C′의 한 변의 길이가 2일 때, AB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2을 θ\displaystyle \theta와 w\displaystyle w로 표현하시오. 또한 θ=π3\displaystyle \theta=\frac\pi3이고 w=π6\displaystyle w=\frac\pi6일 때, AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}를 구하시오. (50점)

(2-3) 정삼각형 AB′C′의 한 변의 길이가 2일 때, AB‾2+BC‾2+CA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2을 θ\displaystyle \theta만의 함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)로 표현하고 f(π4)\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)를 구하시오. (50점)

(2-4) 삼각형 ABC의 넓이는 1이고 AB‾2+BC‾2+CA‾2=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2=8일 때, 정삼각형 AB′C′의 한 변의 길이를 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

세종대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2016su/jayeon_2

(2-1) 오른쪽 그림에서 ∠PAB′+∠B′PA=∠AB′C′=π3\displaystyle \angle\mathrm{PAB\prime}+\angle\mathrm{B\prime PA}=\angle\mathrm{AB\prime C\prime}=\frac\pi3이므로

정삼각형과 교선이 이루는 각
20점 · sin⁡(π3−w)\displaystyle \sin\left(\frac\pi3-w\right)을 쓰면

u=∠B′PA=π3−∠PAB′=π3−w\displaystyle u=\angle\mathrm{B\prime PA}=\frac\pi3-\angle\mathrm{PAB\prime}=\frac\pi3-w이다. sin⁡w=13\displaystyle \sin w=\frac13이면 cos⁡w=223\displaystyle \cos w=\frac{2\sqrt2}3이므로

50점 · 답 sin⁡(π3−w)=26−16\displaystyle \sin\left(\frac\pi3-w\right)=\frac{2\sqrt6-1}6가 맞으면 계산과정 보지 않고

sin⁡(π3−w)=sin⁡(π3)cos⁡w−cos⁡(π3)sin⁡w=26−16\displaystyle \sin\left(\frac\pi3-w\right)=\sin\left(\frac\pi3\right)\cos w-\cos\left(\frac\pi3\right)\sin w=\frac{2\sqrt6-1}6이다.

(2-2)

정사영의 길이 계산

왼쪽 그림에서 AP‾=2cos⁡w\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2\cos w이고 PB′‾=2sin⁡w\displaystyle \overline{\mathrm{PB\prime}}=2\sin w가 된다.

따라서 PB‾=2sin⁡wsec⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=2\sin w\sec\theta가 된다.

+35점 · AB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2를 4cos⁡2w+4sin⁡2wsec⁡2θ\displaystyle 4\cos^2w+4\sin^2w\sec^2\theta, 4+4sin⁡2wtan⁡2θ\displaystyle 4+4\sin^2w\tan^2\theta 또는 이것과 동치인 결과로 표현하면

또한 AB‾2=(2cos⁡w)2+(2sin⁡wsec⁡θ)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=(2\cos w)^2+(2\sin w\sec\theta)^2가 된다. 만약 θ=π3\displaystyle \theta=\frac\pi3이고 w=π6\displaystyle w=\frac\pi6이면

AB‾2=(2cos⁡w)2+(2sin⁡wsec⁡θ)2=3+4=7\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=(2\cos w)^2+(2\sin w\sec\theta)^2=3+4=7가 된다.

+15점 · 위의 식 없이 AB‾=7\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt7만 구하면

따라서 AB‾=7\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt7이 된다.

(2-3) (2-2)의 계산과정을 활용하면 AB‾2=4cos⁡2w+4sin⁡2wsec⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=4\cos^2w+4\sin^2w\sec^2\theta,

BC‾2=4cos⁡2(π3−w)+4sin⁡2(π3−w)sec⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=4\cos^2\left(\frac\pi3-w\right)+4\sin^2\left(\frac\pi3-w\right)\sec^2\theta 그리고

CA‾2=4cos⁡2(π3+w)+4sin⁡2(π3+w)sec⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}^2=4\cos^2\left(\frac\pi3+w\right)+4\sin^2\left(\frac\pi3+w\right)\sec^2\theta가 성립한다. 그런데

cos⁡2w+cos⁡2(π3−w)+cos⁡2(π3+w)=cos⁡2w+(12cos⁡w+32sin⁡w)2+(12cos⁡w−32sin⁡w)2=32\displaystyle \begin{aligned}&\cos^2w+\cos^2\left(\frac\pi3-w\right)+\cos^2\left(\frac\pi3+w\right)\\&=\cos^2w+\left(\frac12\cos w+\frac{\sqrt3}2\sin w\right)^2+\left(\frac12\cos w-\frac{\sqrt3}2\sin w\right)^2=\frac32\end{aligned}

가 성립함을 알 수 있다. 더불어 sin⁡2w+sin⁡2(π3−w)+sin⁡2(π3+w)=32\displaystyle \sin^2w+\sin^2\left(\frac\pi3-w\right)+\sin^2\left(\frac\pi3+w\right)=\frac32가 성립한다. 따라서

+10점 · f(π4)=18\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=18이 맞으면 +40점 · 덧셈정리를 이용하여 w\displaystyle w를 소거하고 f(θ)=6+6sec⁡2θ\displaystyle f(\theta)=6+6\sec^2\theta 또는 f(θ)=12+6tan⁡2θ\displaystyle f(\theta)=12+6\tan^2\theta 또는 이것과 동치인 결과를 얻으면

f(θ)=AB‾2+BC‾2+CA‾2=6+6sec⁡2θ\displaystyle f(\theta)=\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2=6+6\sec^2\theta가 성립한다. 그러므로 f(π4)=18\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=18이다.

(2-4) (2-3)의 계산과정을 활용하면 △AB′C′\displaystyle \triangle\mathrm{AB\prime C\prime}의 한 변의 길이를 d\displaystyle d라 하면

40점 · AB‾2+BC‾2+CA‾2=32d2(1+sec⁡2θ)=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2=\frac32d^2(1+\sec^2\theta)=8만 기술하면 (15점), cos⁡θ=3d24\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3d^2}4만 기술하면 (25점), 그리고 모두 기술하면

AB‾2+BC‾2+CA‾2=3d22(1+sec⁡2θ)=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2=\frac{3d^2}2(1+\sec^2\theta)=8가 된다. △AB′C′\displaystyle \triangle\mathrm{AB\prime C\prime}의 넓이가 3d24\displaystyle \frac{\sqrt3d^2}4이므로 넓이의 정사영에서 cos⁡θ=3d24\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3d^2}4가 된다.

45점 · 32d2(1+163d4)=8\displaystyle \frac32d^2\left(1+\frac{16}{3d^4}\right)=8를 풀어 d2=4\displaystyle d^2=4 또는 d2=43\displaystyle d^2=\frac43를 얻으면

즉 sec⁡2θ=163d4\displaystyle \sec^2\theta=\frac{16}{3d^4}이고 3d22(1+163d4)=8\displaystyle \frac{3d^2}2\left(1+\frac{16}{3d^4}\right)=8이 되어 d2=4\displaystyle d^2=4 또는 d2=43\displaystyle d^2=\frac43이 된다.

50점 · 결론으로 답 d=23=233\displaystyle d=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3를 찾으면

d2=43\displaystyle d^2=\frac43가 넓이의 정사영에 맞는 답이으로 d=23=233\displaystyle d=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3이다.

(2-1) sin⁡(π3−w)=sin⁡(π3)cos⁡w−cos⁡(π3)sin⁡w\displaystyle \sin\left(\frac\pi3-w\right)=\sin\left(\frac\pi3\right)\cos w-\cos\left(\frac\pi3\right)\sin w를 얻었으나 계산이 틀려 답이 틀리면 (30점)

(2-2) (합산하여 채점)

(2-3) (합산하여 채점)

(2-3) 여기에서 f(θ)\displaystyle f(\theta)를 얻지 못했지만 BC‾2=4cos⁡2(π3−w)+4sin⁡2(π3−w)sec⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=4\cos^2\left(\frac\pi3-w\right)+4\sin^2\left(\frac\pi3-w\right)\sec^2\theta 또는 CA‾2=4cos⁡2(π3+w)+4sin⁡2(π3+w)sec⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}^2=4\cos^2\left(\frac\pi3+w\right)+4\sin^2\left(\frac\pi3+w\right)\sec^2\theta 중 하나만 써도 (10점)

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