자연계열 2번

세종대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018mo/jayeon_2

[문제 2] 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt5$ 인 구 $\displaystyle S_1$ 과 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{10}$ 인 구 $\displaystyle S_2$ 가 있다. 두 구의 중심점을 각각 $\displaystyle \mathrm{A,B}$ 라 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이는 $\displaystyle 5$ 이다. 두 구가 만나서 생기는 원 $\displaystyle C$ 에 내접하는 정육각형 $\displaystyle H$ 위를 움직이는 두 점을 $\displaystyle \mathrm{P,Q}$ 라 할 때, 다음 물음에 각각 답하시오.

(2-1) 원 $\displaystyle C$ 의 반지름의 길이를 구하시오. (60점)

(2-2) 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ 의 크기 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 의 최댓값을 구하시오. (60점)

(2-3) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 정육각형 $\displaystyle H$ 의 한 변을 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점일 때, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 의 최댓값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018mo/jayeon_2

(2-1) 풀이 : 원 $\displaystyle C$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{X}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{O}$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원 $\displaystyle C$ 의 중심이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AO}$ 의 길이를 $\displaystyle x$ , 선분 $\displaystyle \mathrm{BO}$ 의 길이를 $\displaystyle y$ 라 하면

총 +30점 ·

\displaystyle x+y=5,\quad x^2+r^2=5,\quad y^2+r^2=10

에서 식 각각에 대해: +10점

$\displaystyle x+y=5$ 이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{XAO}$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{XOB}$ 가 각각 직각삼각형이 되므로 $\displaystyle x^2+r^2=5,\quad y^2+r^2=10$ 이다.

총 +30점 ·

\displaystyle x=2,\;y=3,\;r=1

에서 답 각각에 대해: +10점

이 세 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=2,\;y=3,\;r=1$ 을 얻는다.

정답 : 1

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OQ}

와 같이 분해하면

(2-2) 풀이 : $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ 이고

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}

와

\displaystyle \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}

가 수직임을 알면

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ 는 수직이다.

+10점 · 식

\displaystyle |\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}|^2=|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|^2

을 구하면

Correction. 채점기준의 $\displaystyle \overrightarrow{BP}$ 는 $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ 의 오기이며, 오른쪽의 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ 는 $\displaystyle \overrightarrow{BO}$ 로 읽어야 한다. 올바른 분해식은 다음과 같다. $\displaystyle |\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}|^2=|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}|^2+|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|^2$ 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 의 최댓값은 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$ 가 최대일 때, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$ 으로부터 구할 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}|=1

을 보이면

한편, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=1$ 이고,

+10점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|

가 최대가 되는 것은

\displaystyle \mathrm{P=Q}

일 때를 구하면

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$ 가 최대가 되는 것은 $\displaystyle \mathrm{P=Q}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 정육각형의 꼭짓점일 때 이므로

+10점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}|

의 최댓값

\displaystyle \sqrt{1+4}=\sqrt5

를 구하면

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{1+4}=\sqrt5$ 이다.

정답 : $\displaystyle \sqrt5$

+20점 ·

\displaystyle \overrightarrow{OQ\prime}

의 길이가 최대가 되도록 Q를 잡으면

(2-3) 풀이 : (2-2)의 풀이에서처럼 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$ 가 최대가 될 때, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 는 최대가 된다.

+10점 · 아래 그림과 같이

\displaystyle \overrightarrow{OQ\prime}

를 분해할 수 있는 벡터

\displaystyle \vec a,\vec b

를 잡으면

점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 정육각형 $\displaystyle H$ 의 한 변 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점일 때, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}$ 를 $\displaystyle \vec a$ , 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}$ 를 $\displaystyle \vec b$ 라 하면,

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{OQ\prime}

를 앞에서 택한 벡터

\displaystyle \vec a,\vec b

로 나타내면 +10점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|=\frac{\sqrt{31}}3

을 구하면

다음 그림에서 보듯이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\vec a+2\vec b}3$ 이고, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$ 의 최댓값은 $\displaystyle \left|\frac{\vec a+5\vec b}3\right|=\frac{\sqrt{25+10\vec a\cdot\vec b+1}}3=\frac{\sqrt{31}}3$ 이다.

+10점 · 최종 답

\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}3

을 구하면

따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|$ 의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{1+\frac{31}9}=\frac{2\sqrt{10}}3$ 이다.

※ 위 그림 대신 다음 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 위치를 구할 수도 있다.

정답 : $\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}3$

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