자연계열 3번

(3-1) 풀이: $\displaystyle h\prime(x)=(1-x)e^{-x}$, $\displaystyle h\prime\prime(x)=(x-2)e^{-x}$임을 이용하여 $\displaystyle y=h(x)=xe^{-x}$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

($\displaystyle x=1$일 때 극댓값 $\displaystyle \frac1e$을 갖고 $\displaystyle x=2$일 때 변곡점 $\displaystyle \left(2,\frac2{e^2}\right)$를 갖는다.

정답 : 그래프의 개형

(3-2) 풀이 : 정적분과 미분의 관계를 이용하면$\displaystyle g\prime(x)=f(x)e^{-f(x)}$이다.

문제 (3-1)에서 그린 그래프에서 $\displaystyle xe^{-x}=\frac1e$을 만족하는 $\displaystyle x$는 1뿐이다.

그러므로 $\displaystyle g\prime(0)=f(0)e^{-f(0)}=\frac1e$을 만족하는 $\displaystyle f(0)$은 1뿐이다. 즉 $\displaystyle f(0)=1$이다.

(3-3) 풀이 : 문제 (3-2)에 의하여 $\displaystyle f(0)=1$이다. 또한 방정식$\displaystyle g\prime\prime(x)=f\prime(x)e^{-f(x)}\{1-f(x)\}=0$의 실근의 개수가 1이므로 방정식 $\displaystyle f\prime(x)\{1-f(x)\}=0$의 실근의 개수도 1이어야 하는데,

$\displaystyle f(0)=1$이므로 $\displaystyle x=0$이 이 방정식의 실근이다. 또한 $\displaystyle f\prime(x)$는 3차식이므로 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 문제의 조건을 만족하려면 방정식 $\displaystyle f\prime(x)=0$의 실근이 $\displaystyle x=0$이어야 한다. 따라서 다음을 얻는다.

$\displaystyle f\prime(x)=4x^3\text{ 또는 }f\prime(x)=4x(x^2+bx+c)\quad(\text{단},\;b^2-4c<0)$

(첫 번째 경우) $\displaystyle f\prime(x)=4x^3$인 경우에$\displaystyle f(x)=x^4+1$이고, 이때 방정식 $\displaystyle 0=1-f(x)=-x^4$의 해는 $\displaystyle x=0$뿐 이므로 문제의 조건이 모두 성립한다.

(두 번째 경우) $\displaystyle f\prime(x)=4x(x^2+bx+c)$ (단, $\displaystyle b^2-4c<0$)인 경우$\displaystyle f(x)=x^4+\frac43bx^3+2cx^2+1\quad(b^2-4c<0)$가 되고, $\displaystyle 0\le b^2<4c$를 이용하면 $\displaystyle x^2+\frac{4b}3x+2c>0$이므로방정식 $\displaystyle 0=1-f(x)=-x^2\left(x^2+\frac{4b}3x+2c\right)$은 $\displaystyle x=0$만을 실근으로 갖는다. 따라서 문제의 조건이 모두 성립한다.

(i) $\displaystyle f(x)=x^4+1$일 때 $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)dx=\frac{12}5$이다.

(ii) $\displaystyle f(x)=x^4+\frac43bx^3+2cx^2+1\;(b^2-4c<0)$일 때, $\displaystyle c>\frac{b^2}4\ge0$이므로 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle \int_{-1}^1f(x)dx=\int_{-1}^1\left(x^4+\frac43bx^3+2cx^2+1\right)dx$$\displaystyle =2\int_0^1(x^4+2cx^2+1)dx$$\displaystyle =\frac{12}5+\frac43c$

$\displaystyle >\frac{12}5$

(i)과 (ii)를 종합하면 $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{12}5$이다.