수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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세종대 2023학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2023mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 높이가 y\displaystyle y일 때 수평 단면이 반지름의 길이가 20y−y2 cm\displaystyle \sqrt{20y-y^2}\,\mathrm{cm} (단, 0≤y≤10\displaystyle 0\le y\le10)인 원으로 주어지는 반구 모양의 용기가 있다. 이 용기에 물이 채워지고 있고, 시각 t\displaystyle t에서 용기에 담겨있는 물의 부피를 V(t) cm3\displaystyle V(t)\,\mathrm{cm}^3라 할 때 V(0)=0\displaystyle V(0)=0이고 dVdt=81π cm3/초\displaystyle \frac{dV}{dt}=81\pi\,\mathrm{cm}^3/초이다. 시각 t\displaystyle t에서 물의 높이 y\displaystyle y가 h(t) cm\displaystyle h(t)\,\mathrm{cm}라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, t\displaystyle t의 단위는 초이다.)

(1-1) (70점) h(t)=9\displaystyle h(t)=9일 때, t\displaystyle t의 값을 구하시오.

(1-2) (80점) h(t)=9\displaystyle h(t)=9일 때, h′(t)\displaystyle h'(t)의 값을 구하시오.

(1-3) (80점) h(t)=9\displaystyle h(t)=9일 때, d2ydt2\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}과 d2tdy2\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}을 구하시오.

수평 단면의 반지름이 주어진 반구 모양의 용기
해설강의 준비중

세종대 2023학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2023mo/jayeon_1

+30점 · 물의 부피의 식 π∫0h(t)(20y−y2)dy\displaystyle \pi\int_0^{h(t)}(20y-y^2)dy이 있으면

(1-1) 시각 t\displaystyle t에서 물의 부피 V(t)\displaystyle V(t)에 대하여81πt=V(0)+∫0tV′(s)ds=V(t)=π∫0h(t)(20y−y2)dy\displaystyle 81\pi t=V(0)+\int_0^tV'(s)ds=V(t)=\pi\int_0^{h(t)}(20y-y^2)dy

+20점 · 적분하여 π{10h2(t)−h3(t)3}\displaystyle \pi\{10h^2(t)-\frac{h^3(t)}3\}을 얻으면

이므로 h(t)=9\displaystyle h(t)=9일 때,81πt=π∫0h(t)(20y−y2)dy=π{10h2(t)−h3(t)3}=π(10×92−933)=567π\displaystyle 81\pi t=\pi\int_0^{h(t)}(20y-y^2)dy=\pi\{10h^2(t)-\frac{h^3(t)}3\}=\pi(10\times9^2-\frac{9^3}3)=567\pi이다.

+20점 · h(t)=9\displaystyle h(t)=9를 대입하여 t=7\displaystyle t=7를 얻으면

따라서 t=7\displaystyle t=7이다.

+40점 · 미분하여 81π=πh′(t){20h(t)−h(t)2}\displaystyle 81\pi=\pi h'(t)\{20h(t)-h(t)^2\}을 얻으면

(1-2) 81πt=π∫0h(t)(20x−x2)dx\displaystyle 81\pi t=\pi\int_0^{h(t)}(20x-x^2)dx의 양변을 미분하면 81π=πh′(t){20h(t)−h(t)2}\displaystyle 81\pi=\pi h'(t)\{20h(t)-h(t)^2\}

+40점 · h′(t)=911\displaystyle h'(t)=\frac9{11}를 얻으면

이므로 h(t)=9\displaystyle h(t)=9일 때 h′(t)=8120h(t)−h(t)2=8120×9−92=911\displaystyle h'(t)=\frac{81}{20h(t)-h(t)^2}=\frac{81}{20\times9-9^2}=\frac9{11}이다.

+10점

(1-3)y=h(t)\displaystyle y=h(t)이므로 (1-2)의 계산으로부터 dydt=8120y−y2\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{81}{20y-y^2}이다. 따라서

+20점 · d2ydt2=−81(20−2y)(20y−y2)2×dydt\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{81(20-2y)}{(20y-y^2)^2}\times\frac{dy}{dt}를 얻으면

d2ydt2=ddt(dydt)=ddt(8120y−y2)=ddy(8120y−y2)×dydt=−81(20−2y)(20y−y2)2×dydt\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=\frac d{dt}(\frac{dy}{dt})=\frac d{dt}(\frac{81}{20y-y^2})=\frac d{dy}(\frac{81}{20y-y^2})\times\frac{dy}{dt}=-\frac{81(20-2y)}{(20y-y^2)^2}\times\frac{dy}{dt}

+10점 · d2ydt2=−18113\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{18}{11^3}

를 얻는다. y=9\displaystyle y=9, dydt=911\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac9{11}를 대입하면, d2ydt2=−18113=−181331\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{18}{11^3}=-\frac{18}{1331}이다.

+10점

또한 역함수 미분법을 이용하면 dtdy=20y−y281\displaystyle \frac{dt}{dy}=\frac{20y-y^2}{81}이고

+20점 · d2tdy2=ddy(20y−y281)=20−2y81\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}=\frac d{dy}(\frac{20y-y^2}{81})=\frac{20-2y}{81}

d2tdy2=ddy(dtdy)=ddy(20y−y281)=20−2y81\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}=\frac d{dy}(\frac{dt}{dy})=\frac d{dy}(\frac{20y-y^2}{81})=\frac{20-2y}{81}

+10점

이므로, y=9\displaystyle y=9를 대입하면 d2tdy2=281\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}=\frac2{81}이다.

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