자연계열 1번

(1-1) 시각 $\displaystyle t$에서 물의 부피 $\displaystyle V(t)$에 대하여$\displaystyle 81\pi t=V(0)+\int_0^tV'(s)ds=V(t)=\pi\int_0^{h(t)}(20y-y^2)dy$

이므로 $\displaystyle h(t)=9$일 때,$\displaystyle 81\pi t=\pi\int_0^{h(t)}(20y-y^2)dy=\pi\{10h^2(t)-\frac{h^3(t)}3\}=\pi(10\times9^2-\frac{9^3}3)=567\pi$이다. 따라서 $\displaystyle t=7$이다.

(1-2) $\displaystyle 81\pi t=\pi\int_0^{h(t)}(20x-x^2)dx$의 양변을 미분하면 $\displaystyle 81\pi=\pi h'(t)\{20h(t)-h(t)^2\}$이므로 $\displaystyle h(t)=9$일 때 $\displaystyle h'(t)=\frac{81}{20h(t)-h(t)^2}=\frac{81}{20\times9-9^2}=\frac9{11}$이다.

(1-3)$\displaystyle y=h(t)$이므로 (1-2)의 계산으로부터 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{81}{20y-y^2}$이다. 따라서

$\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=\frac d{dt}(\frac{dy}{dt})=\frac d{dt}(\frac{81}{20y-y^2})=\frac d{dy}(\frac{81}{20y-y^2})\times\frac{dy}{dt}=-\frac{81(20-2y)}{(20y-y^2)^2}\times\frac{dy}{dt}$

를 얻는다. $\displaystyle y=9$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac9{11}$를 대입하면, $\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{18}{11^3}=-\frac{18}{1331}$이다.

또한 역함수 미분법을 이용하면 $\displaystyle \frac{dt}{dy}=\frac{20y-y^2}{81}$이고

$\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}=\frac d{dy}(\frac{dt}{dy})=\frac d{dy}(\frac{20y-y^2}{81})=\frac{20-2y}{81}$이므로, $\displaystyle y=9$를 대입하면 $\displaystyle \frac{d^2t}{dy^2}=\frac2{81}$이다.