자연계열 3번

(3-1) 조건 (가)로부터 $\displaystyle f(x)=a(x-k)^2$ (단, $\displaystyle a\ne0,\ k<0$)이라 둘 수 있고,$\displaystyle g(x)=f(f(x))=a(a(x-k)^2-k)^2=a(ax^2-2akx+ak^2-k)^2$

이므로$\displaystyle g'(x)=4a^2(ax^2-2akx+ak^2-k)(x-k)$이다. 그런데 $\displaystyle g'(x)$의 인수 중에서 이차식 $\displaystyle ax^2-2akx+ak^2-k$의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면$\displaystyle \frac D4=a^2k^2-a(ak^2-k)=ak$이다. 그러므로 $\displaystyle a<0$일 때는 $\displaystyle \frac D4>0$이고 방정식 $\displaystyle g'(x)=0$은 서로 다른 세 실근 $\displaystyle x=k,\ k\pm\sqrt{\frac ka}$를 갖게 되므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 세 군데에서 극값을 가지게 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다. $\displaystyle a>0$일 때는 $\displaystyle \frac D4<0$이고 방정식 $\displaystyle g'(x)=0$의 실근은 $\displaystyle x=k$뿐이며 $\displaystyle x<k$일 때 $\displaystyle g'(x)<0$, $\displaystyle x>k$일 때 $\displaystyle g'(x)>0$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=k$에서 극솟값을 가지며, 이는 $\displaystyle g(x)$의 유일한 극값이다.

따라서 $\displaystyle a>0$일 때 조건 (나)를 만족시키며, 포물선 $\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록하다.

(3-2) $\displaystyle g''(x)=4a^2(3ax^2-6akx+3ak^2-k)$인데 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle k<0$이므로 $\displaystyle 3ax^2-6akx+3ak^2-k$의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle \frac D4=3ak<0$이다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 3ax^2-6akx+3ak^2-k>0$이고 $\displaystyle g''(x)=4a^2(3ax^2-6akx+3ak^2-k)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle g''(x)>0$인 $\displaystyle x$의 범위는 실수 전체의 집합이다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=g(x)$는 아래로 볼록하다.

$\displaystyle y=g(x)$가 직선 $\displaystyle x=k$를 중심으로 대칭이고 $\displaystyle x<k$일 때 $\displaystyle g(x)$가 감소하며 $\displaystyle x>k$일 때 $\displaystyle g(x)$가 증가하므로, 조건 (다)의 식 $\displaystyle g(-1)\le g(0)$을 만족시키기 위해서는 $\displaystyle |k-(-1)|\le|k-0|$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle k<0$이므로 이를 다시 쓰면 $\displaystyle |k+1|\le-k$, 즉 $\displaystyle k\le k+1\le-k$이므로 $\displaystyle k\le-\frac12$을 얻어 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle -\frac12$이다. (다음 그림 참조)

(3-3) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)>0$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle h(-k)=g(g(k))>0$그런데 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x=k$를 중심으로 대칭이므로, 임의의 실수 $\displaystyle c$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle h(-k+c)=g(g(k-c))=g(g(k+c))=g(g(-(-k-c)))=h(-k-c)$그러므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x=-k$를 중심으로 대칭이다.또한 $\displaystyle h'(x)=-g'(g(-x))g'(-x)$인데 항상 $\displaystyle g(-x)>0$이므로 $\displaystyle -g'(g(-x))<0$이다. 따라서 다음을 얻는다.(i) $\displaystyle x<-k$일 때: $\displaystyle -x>k$이므로 $\displaystyle g'(-x)>0$이고 $\displaystyle h'(x)=-g'(g(-x))g'(-x)<0$이다.(ii) $\displaystyle x=-k$일 때: $\displaystyle -x=k$이므로 $\displaystyle g'(-x)=0$이고 $\displaystyle h'(x)=-g'(g(-x))g'(-x)=0$이다.(iii) $\displaystyle x>-k$일 때: $\displaystyle -x<k$이므로 $\displaystyle g'(-x)<0$이고 $\displaystyle h'(x)=-g'(g(-x))g'(-x)>0$이다.이와 같은 결과를 이용하여 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 개형을 그리면 다음과 같다.

따라서 다음을 얻는다.(i) $\displaystyle p=-k$일 때: 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x=-k$를 중심으로 대칭이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_0^ph(x)dx=\int_0^{-k}h(x)dx=\int_{-k}^{-2k}h(x)dx=\int_p^{2p}h(x)dx$(ii) $\displaystyle 0<p<-k$일 때: 그래프의 대칭성과 $\displaystyle h(x)$의 증감을 생각하면 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_0^ph(x)dx>\int_p^{2p}h(x)dx$(iii) $\displaystyle p>-k$일 때: 마찬가지로 그래프의 대칭성과 $\displaystyle h(x)$의 증감을 생각하면 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_0^ph(x)dx<\int_p^{2p}h(x)dx$그러므로 $\displaystyle \int_0^ph(x)dx=\int_p^{2p}h(x)dx$를 만족시키는 $\displaystyle p$는 $\displaystyle -k$ 뿐이다.

그런데 $\displaystyle k\le-\frac12$이므로 $\displaystyle -k\ge\frac12$이고, 문제의 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle \frac12$이다.