자연계열 1번

세종대 2026학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026mo/jayeon_1

[문제 1] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. $\displaystyle f(x)=8f(\frac{x+1}{2})$

(1-1) (70점) 실수 $\displaystyle p$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)=|x-1|^p$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 조건 $\displaystyle g(x)=8g(\frac{x+1}{2})$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle p$ 를 구하여시오.

(1-2) (80점) $\displaystyle \int_2^3f(x)dx=A$ 라 할 때, $\displaystyle \int_2^5f(x)dx$ 를 $\displaystyle A$ 의 식으로 나타내시오.

(1-3) (80점) (1-1)에서 구한 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}\frac{f(x)}{g(x)}&(x\ne1)\\5&(x=1)\end{cases}$ 이라 하자. $\displaystyle h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)=h(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)$ 임을 보이고 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.

해설강의 준비중

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+50점 ·

\displaystyle |x-1|^p=8\left|\frac{x-1}{2}\right|^p

를 기술하면

(1-1) $\displaystyle |x-1|^p=8\left|\frac{x-1}{2}\right|^p$ 으로부터 $\displaystyle 2^p=8$ 이다.

+20점 · 답

\displaystyle p=3

을 구하면

그러므로 $\displaystyle p=3$ 이다.

+60점 ·

\displaystyle \int_3^5f(x)dx=\int_2^316f(u)du

를 보이면

(1-2) $\displaystyle \int_3^5f(x)dx=\int_3^58f(\frac{x+1}{2})dx=\int_2^316f(u)du=16A$

+20점 · 답

\displaystyle 17A

를 구하면

따라서 $\displaystyle \int_2^5f(x)dx=17A$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle h(x)=h(\frac{x+1}{2})

를 보이면

(1-3) $\displaystyle h(x)=h(\frac{x+1}{2})$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle h(x)=h(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)

를 보이면

따라서 $\displaystyle h(x)=h(\frac x2+\frac12)=h(\frac x4+\frac14+\frac12)=h(\frac x8+\frac18+\frac14+\frac12)=h(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)$

+30점 ·

\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}h(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)

를 기술하면

이다. $\displaystyle h(x)$ 가 연속이므로 $\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}h(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)=h(1)=5$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle f(x)=5|x-1|^3

를 구하면

따라서 $\displaystyle f(x)=5g(x)=5|x-1|^3$ 이다.

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