자유전공학부 2번

(2-1) 조건 (3)에 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle f(1)=e\sqrt{f(1)}$이다. $\displaystyle f(x)>0$이므로 이것을 풀면 $\displaystyle f(1)=e^2$이다.

그런데 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(1)=\frac{f^{\prime}(1)}{f(1)}=\frac1{e^2}$이다.

(2-2) 조건 (3)의 양변에 로그를 취하면$\displaystyle \ln f(\frac{x+1}{2})=\ln e\sqrt{f(x)}=1+\frac12\ln f(x)$이다. 즉 $\displaystyle g(\frac{x+1}{2})=1+\frac12g(x)$을 얻는다.

이 식을 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(\frac{x+1}{2})=g^{\prime}(x)$가 된다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=g^{\prime}(\frac x2+\frac12)=g^{\prime}(\frac x4+\frac14+\frac12)=g^{\prime}(\frac x8+\frac18+\frac14+\frac12)\\&=g^{\prime}(\frac{x}{2^n}+\frac1{2^n}+\frac1{2^{n-1}}+\cdots+\frac12)=g^{\prime}(1+\frac{x-1}{2^n})\end{aligned}$이다.

(2-3) $\displaystyle f(x)$가 두 번 미분 가능하므로 $\displaystyle g(x)$도 두 번 미분 가능하다.

따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 연속이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\lim_{n\to\infty}g^{\prime}(1+\frac{x-1}{2^n})=g^{\prime}(1)=\frac1{e^2}$이다.

즉 $\displaystyle g(x)=\frac1{e^2}x+C$이다. $\displaystyle f(1)=e^2$이므로 $\displaystyle g(1)=\ln f(1)=\ln e^2=2$이다.그러므로 $\displaystyle g(1)=\frac1{e^2}+C=2$에서 $\displaystyle C=2-\frac1{e^2}$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=\frac1{e^2}x+2-\frac1{e^2}$