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자연계열 1번

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서울과학기술대 2015학년도 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2015mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2) 사이의 거리는AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}이다.

(나) 도형의 평행이동좌표평면에서 방정식 f(x,y)=0\displaystyle f(x,y)=0이 나타내는 도형을 x\displaystyle x축의 방향으로 a\displaystyle a만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 b\displaystyle b만큼 평행이동한 도형의 방정식은f(x−a,y−b)=0\displaystyle f(x-a,y-b)=0이다.

갑과 을 두 사람이 O\displaystyle O 지점에서 축구공을 찬 후, 떨어진 지점에서 다시 한 번 차서 C\displaystyle C 지점에 ‘더 가까이 도달하기’ 시합을 했다.

갑과 을이 O에서 C 방향으로 공을 차고 다시 차서 반직선 CY 위의 A, B에 도달한 경로

갑이 첫 번째 찬 공은 C\displaystyle C 방향으로 40 m\displaystyle 40\,\mathrm m 날아가서 떨어졌고, 그 지점에서 두 번째 찰 때는 30 m\displaystyle 30\,\mathrm m 날아가서 반직선 CY→\displaystyle \overrightarrow{CY} 위의 A\displaystyle A 지점에 떨어졌다. 을이 첫 번째 찬 공은 C\displaystyle C 방향으로 60 m\displaystyle 60\,\mathrm m 날아가서 떨어졌고, 그 지점에서 두 번째 찰 때는 10 m\displaystyle 10\,\mathrm m 날아가서 반직선 CY→\displaystyle \overrightarrow{CY} 위의 B\displaystyle B 지점에 떨어졌다.

[1.1] A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리를 선분 OC\displaystyle OC의 길이에 대한 함수로 나타내시오.

[1.2] 선분 OC\displaystyle OC의 길이가 몇 미터일 때 A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리가 가장 멀어지는지 구하고, 이때 A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리를 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2015학년도 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2015mo/jayeon_1

[1.1] 선분 OC\displaystyle OC의 길이를 x\displaystyle x라 하면 A\displaystyle A와 C\displaystyle C 사이의 거리는 302−(x−40)2=−x2+80x−700\displaystyle \sqrt{30^2-(x-40)^2}=\sqrt{-x^2+80x-700}이고, B\displaystyle B와 C\displaystyle C 사이의 거리는 102−(x−60)2=−x2+120x−3500\displaystyle \sqrt{10^2-(x-60)^2}=\sqrt{-x^2+120x-3500}이므로, A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리는f(x)=−x2+80x−700−−x2+120x−3500\displaystyle f(x)=\sqrt{-x^2+80x-700}-\sqrt{-x^2+120x-3500}이다.

[1.2] y1=−x2+80x−700=302−(x−40)2\displaystyle y_1=\sqrt{-x^2+80x-700}=\sqrt{30^2-(x-40)^2}이고y2=−x2+120x−3500=102−(x−60)2\displaystyle y_2=\sqrt{-x^2+120x-3500}=\sqrt{10^2-(x-60)^2}라 하자. 제곱근 안의 값은 음이 아니어야 한다. 따라서 302−(x−40)2≥0\displaystyle 30^2-(x-40)^2\geq0에서 10≤x≤70\displaystyle 10\leq x\leq70임을 알 수 있고, 102−(x−60)2≥0\displaystyle 10^2-(x-60)^2\geq0에서 50≤x≤70\displaystyle 50\leq x\leq70임을 알 수 있다. 따라서 50≤x≤70\displaystyle 50\leq x\leq70이어야 한다.

중심의 x좌표가 40, 60이고 반지름이 각각 30, 10인 두 반원

위의 그림과 같이 y1\displaystyle y_1은 중심이 x=40\displaystyle x=40이고 반지름이 30\displaystyle 30인 반원이고, y2\displaystyle y_2는 중심이 x=60\displaystyle x=60이고 반지름이 10\displaystyle 10인 반원이다. 그러므로 두 값의 차가 최대가 되는 것은 x=50\displaystyle x=50일 때 이고, 이때 A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리는f(50)=302−102−102−102=202\displaystyle f(50)=\sqrt{30^2-10^2}-\sqrt{10^2-10^2}=20\sqrt2이다.

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