자연계열 1번

[1.1] 선분 $\displaystyle OC$의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$ 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{30^2-(x-40)^2}=\sqrt{-x^2+80x-700}$이고, $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$ 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{10^2-(x-60)^2}=\sqrt{-x^2+120x-3500}$이므로, $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$ 사이의 거리는$\displaystyle f(x)=\sqrt{-x^2+80x-700}-\sqrt{-x^2+120x-3500}$이다.

[1.2] $\displaystyle y_1=\sqrt{-x^2+80x-700}=\sqrt{30^2-(x-40)^2}$이고$\displaystyle y_2=\sqrt{-x^2+120x-3500}=\sqrt{10^2-(x-60)^2}$라 하자. 제곱근 안의 값은 음이 아니어야 한다. 따라서 $\displaystyle 30^2-(x-40)^2\geq0$에서 $\displaystyle 10\leq x\leq70$임을 알 수 있고, $\displaystyle 10^2-(x-60)^2\geq0$에서 $\displaystyle 50\leq x\leq70$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 50\leq x\leq70$이어야 한다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle y_1$은 중심이 $\displaystyle x=40$이고 반지름이 $\displaystyle 30$인 반원이고, $\displaystyle y_2$는 중심이 $\displaystyle x=60$이고 반지름이 $\displaystyle 10$인 반원이다. 그러므로 두 값의 차가 최대가 되는 것은 $\displaystyle x=50$일 때 이고, 이때 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$ 사이의 거리는$\displaystyle f(50)=\sqrt{30^2-10^2}-\sqrt{10^2-10^2}=20\sqrt2$이다.