자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$는 정적분과 미분의 관계로부터, 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능한 함수이다. 따라서 평균값의 정리를 함수 $\displaystyle F(x)$에 적용하면,$\displaystyle \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F^{\prime}(c)$를 만족하는 $\displaystyle c\in(a,b)$가 적어도 하나 존재한다. $\displaystyle F(x)$의 정의에 의하여, 위 식의 좌변은$\displaystyle \frac1{b-a}\left(\int_a^bf(x)\,dx-\int_a^af(x)\,dx\right)=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$와 같다. 우변은 정적분과 미분사이의 관계로부터 $\displaystyle F^{\prime}(c)=f(c)$이므로 원하는 결과를 얻는다.

[2.2] $\displaystyle f(x)=a_0+a_1x^2+a_2x^4+\cdots+a_nx^{2n}$으로 정의하자. 그러면 $\displaystyle f(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이므로 문제 [2.1]에 의해서$\displaystyle \frac1{1-0}\int_0^1f(x)\,dx=f(c)$를 만족하는 $\displaystyle c\in(0,1)$가 적어도 하나 존재한다. 위 식의 좌변은$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac{a_0}1+\frac{a_1}3+\frac{a_2}5+\cdots+\frac{a_n}{2n+1}=0$이므로, $\displaystyle f(c)=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 적어도 하나 존재한다. 또한 $\displaystyle f(c)=f(-c)$이므로 $\displaystyle c$가 근이면 $\displaystyle -c$ 역시 근이다. 위에서 $\displaystyle c\in(0,1)$이므로, $\displaystyle c\neq0$이고 $\displaystyle c\neq-c$이다. (사실, $\displaystyle f(0)=a_0\neq0$이므로 0은 근이 될 수 없다.) 따라서 방정식 $\displaystyle a_0+a_1x^2+a_2x^4+\cdots+a_nx^{2n}=0$의 실근은 적어도 두 개다.