자연계열 1번

[1.1] 중심이 $\displaystyle A$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 2$인 원이 $\displaystyle x$축 위를 $\displaystyle \theta$만큼 굴러가면, 원점 $\displaystyle O$에서 출발한 점 $\displaystyle P$의 위치는 문제에서 제시한 그림과 같다. 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle x=\overline{OB}=\overline{OC}-\overline{BC}$이다. 여기서 $\displaystyle \overline{OC}$와 $\displaystyle \overline{BC}$를 $\displaystyle \theta$를 이용하여 나타내보자. 원이 $\displaystyle x$축 위를 굴러가면 $\displaystyle \overline{OC}=\overset{\frown}{PC}$이므로 $\displaystyle \overline{OC}=2\theta$이고, $\displaystyle \triangle APD$에서 $\displaystyle \overline{BC}=\overline{PD}=2\sin\theta$이다. 따라서$\displaystyle x=2(\theta-\sin\theta)$이다. 또$\displaystyle y=\overline{PB}=\overline{AC}-\overline{AD}=2-\overline{AD}$인데, $\displaystyle \triangle APD$에서 $\displaystyle \overline{AD}=2\cos\theta$이다. 따라서$\displaystyle y=2(1-\cos\theta)$이다.답) 가 $\displaystyle 2\theta$, 나 $\displaystyle 2\sin\theta$, 다 $\displaystyle 2(\theta-\sin\theta)$, 라 $\displaystyle 2\cos\theta$, 마 $\displaystyle 2(1-\cos\theta)$

[1.2] $\displaystyle x=2(\theta-\sin\theta)$, $\displaystyle y=2(1-\cos\theta)$, $\displaystyle 0\leq\theta\leq2\pi$이므로$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2(1-\cos\theta),\quad\frac{dy}{d\theta}=2\sin\theta$이다. 제시문 (가)의 매개변수로 나타낸 곡선의 길이 구하는 공식에 의하여$\displaystyle l=2\int_0^{2\pi}\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\,d\theta=2\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos\theta}\,d\theta$이다. 그런데 제시문 (나)의 삼각함수의 반각공식에 의하여 $\displaystyle 1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2$이고, $\displaystyle 0\leq\theta\leq2\pi$에서 $\displaystyle \sin\frac\theta2\geq0$이므로$\displaystyle l=4\int_0^{2\pi}\sin\frac\theta2\,d\theta=4\Biggl[-2\cos\frac\theta2\Biggr]_0^{2\pi}=16$이다.

[1.3] 사이클로이드의 방정식과 치환적분법에 의하여$\displaystyle m_k=8\int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}(\theta-\sin\theta)(1-\cos\theta)^2\,d\theta$이다. 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}\theta(1-\cos\theta)^2\,d\theta=\Biggl[\frac34\theta^2-2\theta\sin\theta+\frac14\theta\sin2\theta-2\cos\theta+\frac18\cos2\theta\Biggr]_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}=3\pi^2(2k-1)$이고$\displaystyle \int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}\sin\theta(1-\cos\theta)^2\,d\theta=\Biggl[\frac13(1-\cos\theta)^3\Biggr]_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}=0$이므로$\displaystyle m_k=24\pi^2(2k-1)$이다. 그런데 $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^nkm_k=\sum_{k=1}^n24\pi^2(2k^2-k)=24\pi^2\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}3-\frac{n(n+1)}2\right)=4\pi^2n(n+1)(4n-1)$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nkm_k=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}4\pi^2n(n+1)(4n-1)=16\pi^2$이다.