서울과학기술대 2015학년도 수시 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 캠퍼스 지도다음은 서울과학기술대학교 캠퍼스 내 몇몇 건물과 그 지하 하수관을 통해서 흐르는 시간당 물의 양을 나타낸 그림이다.

다산관·창학관·하이테크관·100주년기념관의 하수관과 유입·유출량 A, x₁~x₅

(나) 정규분포연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 상수 $\displaystyle m,\sigma$ $\displaystyle (\sigma>0)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\quad(-\infty<x<\infty)$ 일 때, $\displaystyle X$ 의 확률분포를 정규분포라고 한다. 이때 평균은 $\displaystyle m$ , 분산은 $\displaystyle \sigma^2$ 이고, 이 정규분포를 $\displaystyle N(m,\sigma^2)$ 으로 나타낸다. 특히, 평균과 분산이 각각 0, 1인 정규분포를 표준정규분포라고 한다.

[2.1] 다산관 지하로 들어오는 시간당 물의 양(A)이 400일 때, 제2학생회관 방향으로 흐르는 시간당 물의 양( $\displaystyle x_5$ )을 구하시오.

[2.2] 하수관으로 한계용량 이상의 물이 들어오면 역류한다. 기숙사 신축으로 물 사용량이 증가하여 하수관이 역류하는 것을 막고자 창학관 앞 지하 배관 교차점에서 100주년기념관 방향으로 이어진 하수관을 교체할 계획이다. 조사결과 기숙사 신축 이후 다산관 지하 방향으로 들어오는 시간당 물의 양(A)은 평균 500, 표준편차 10인 정규분포를 따를 것으로 예상된다. 창학관에서 100주년기념관 방향으로 흐르는 시간당 물의 양( $\displaystyle x_4$ )이 최대가 되는 경우에도 99% 확률로 역류가 일어나지 않도록 설계하고자 한다. 새로운 하수관의 한계용량은 최소 얼마가 되어야하는지 구하시오. 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포를 따를 때, 아래 확률값이 필요하면 이용하시오. $\displaystyle P(0\leq Z\leq1.96)=0.475,\quad P(0\leq Z\leq2.33)=0.490$ $\displaystyle P(0\leq Z\leq2.58)=0.495,\quad P(Z\geq10)=0$

[2.3] 하수관 교체 공사 후 하수관을 다시 열었을 때, 처음 10시간 동안 창학관에서 100주년기념관 방향으로 흐르는 시간당 물의 양( $\displaystyle x_4$ )이 $\displaystyle f(t)=200\frac{\ln(1+t)}{\sqrt{1+t}}$ ( $\displaystyle 0\leq t\leq10$ , $\displaystyle t$ 의 단위는 시간)으로 주어진다. A가 500으로 일정할 때, $\displaystyle x_4$ 가 최대가 되는 때는 몇 시간 후인지 구하고, 이때 다산관에서 하이테크관 방향으로 흐르는 시간당 물의 양( $\displaystyle x_2$ )을 구하시오.

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[2.1] 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양이 같아야 하므로 $\displaystyle A+200+300=300+200+x_5$ 가 성립한다. 따라서 제2학생회관 방면으로 흐르는 물의 양 $\displaystyle x_5$ 는 400이다.

[2.2] 다산관 지하로 들어오는 물의 양을 표준화한 $\displaystyle Z=\frac{A-500}{10}$ 은 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$ 을 따른다. 제시문에 의하면 $\displaystyle P(Z\leq2.33)=0.99$ 이므로 A는 523.3 이하일 확률이 99%이다.(참고로 $\displaystyle P(Z\leq-10)=0$ 이므로 $\displaystyle A>400$ 임) $\displaystyle x_4$ 가 최대가 되는 경우는 $\displaystyle x_2=0,\,x_1=A$ 이다. 그리고 청운관에서 창학관 앞 지하 배관 교차점으로 들어오는 물의 양보다 대학본부 방향으로 나가는 물의 양이 100 많으므로, $\displaystyle x_4$ 의 최댓값은 $\displaystyle A-100$ 이다. 따라서 필요한 한계용량은 최소 423.3이다. $\displaystyle x_4$ 의 최댓값을 구하기 위하여 아래와 같이 연립방정식을 이용할 수도 있다. $\displaystyle \begin{gathered}A=x_1+x_2\\200+x_1=300+x_4\\300+x_2=200+x_3\\x_3+x_4=x_5=A\end{gathered}$ 이 성립한다. 왜냐하면 각 하수관 교차점별로 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양이 같아야 하기 때문이다. 두 번째 식으로부터 $\displaystyle x_1=100+x_4$ ,첫 번째 식과 위의 식으로부터 $\displaystyle x_2=A-x_1=A-100-x_4$ ,그리고 마지막 식으로부터 $\displaystyle x_3=A-x_4$ 이 성립한다. 각 하수관을 따라 흐르는 물의 양은 음수가 될 수 없으므로 $\displaystyle 0\leq x_4\leq A-100$ 이다.

[2.3] 물의 양을 나타내는 함수 $\displaystyle f(t)$ 를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac d{dt}\left(200\frac{\ln(1+t)}{\sqrt{1+t}}\right)=\frac{200}{(1+t)^{3/2}}\left(1-\frac12\ln(1+t)\right)$ 이다. 따라서 증감표는 아래와 같다.

$\displaystyle t$	0	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle e^2-1$	$\displaystyle \cdots$	10
$\displaystyle f^{\prime}(t)$		$\displaystyle +$	0	$\displaystyle -$
$\displaystyle f(t)$	0	↗	극대	↘	$\displaystyle 200\frac{\ln11}{\sqrt{11}}$

따라서 $\displaystyle f(t)$ 는 $\displaystyle t=e^2-1$ 에서 극댓값이자 최댓값을 가진다. 그러므로 하수관을 통해서 흐르는 물의 양이 최대가 되는 시각은 $\displaystyle e^2-1$ 시간 후이고, 이때 $\displaystyle x_4=f(e^2-1)=\frac{400}e$ 이다. [2.2]문항 풀이와 마찬가지로 생각하면 $\displaystyle x_1=100+\frac{400}e$ 이므로 $\displaystyle x_2=400-\frac{400}e$ 이다.연립방정식의 해 $\displaystyle x_2=A-100-x_4$ 로부터 $\displaystyle x_2=400-\frac{400}e$ 을 구할 수도 있다.

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자연계열 2번

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