자연계열 2번

[2.1] 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양이 같아야 하므로$\displaystyle A+200+300=300+200+x_5$가 성립한다. 따라서 제2학생회관 방면으로 흐르는 물의 양 $\displaystyle x_5$는 400이다.

[2.2] 다산관 지하로 들어오는 물의 양을 표준화한 $\displaystyle Z=\frac{A-500}{10}$은 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따른다. 제시문에 의하면 $\displaystyle P(Z\leq2.33)=0.99$이므로 A는 523.3 이하일 확률이 99%이다.(참고로 $\displaystyle P(Z\leq-10)=0$이므로 $\displaystyle A>400$임)$\displaystyle x_4$가 최대가 되는 경우는 $\displaystyle x_2=0,\,x_1=A$이다. 그리고 청운관에서 창학관 앞 지하 배관 교차점으로 들어오는 물의 양보다 대학본부 방향으로 나가는 물의 양이 100 많으므로, $\displaystyle x_4$의 최댓값은 $\displaystyle A-100$이다. 따라서 필요한 한계용량은 최소 423.3이다.$\displaystyle x_4$의 최댓값을 구하기 위하여 아래와 같이 연립방정식을 이용할 수도 있다.$\displaystyle \begin{gathered}A=x_1+x_2\\200+x_1=300+x_4\\300+x_2=200+x_3\\x_3+x_4=x_5=A\end{gathered}$이 성립한다. 왜냐하면 각 하수관 교차점별로 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양이 같아야 하기 때문이다. 두 번째 식으로부터$\displaystyle x_1=100+x_4$,첫 번째 식과 위의 식으로부터$\displaystyle x_2=A-x_1=A-100-x_4$,그리고 마지막 식으로부터$\displaystyle x_3=A-x_4$이 성립한다. 각 하수관을 따라 흐르는 물의 양은 음수가 될 수 없으므로 $\displaystyle 0\leq x_4\leq A-100$이다.

[2.3] 물의 양을 나타내는 함수 $\displaystyle f(t)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac d{dt}\left(200\frac{\ln(1+t)}{\sqrt{1+t}}\right)=\frac{200}{(1+t)^{3/2}}\left(1-\frac12\ln(1+t)\right)$이다. 따라서 증감표는 아래와 같다.

따라서 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=e^2-1$에서 극댓값이자 최댓값을 가진다. 그러므로 하수관을 통해서 흐르는 물의 양이 최대가 되는 시각은 $\displaystyle e^2-1$시간 후이고, 이때 $\displaystyle x_4=f(e^2-1)=\frac{400}e$이다. [2.2]문항 풀이와 마찬가지로 생각하면 $\displaystyle x_1=100+\frac{400}e$이므로 $\displaystyle x_2=400-\frac{400}e$이다.연립방정식의 해 $\displaystyle x_2=A-100-x_4$로부터 $\displaystyle x_2=400-\frac{400}e$을 구할 수도 있다.