자연계열 I 1번

[문제 1-i] 주어진 관계식의 좌변과 우변을 각각 더하면 $\displaystyle A(n)+B(n)+C(n)=A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)$임을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle t=n$에 상관없이 $\displaystyle A(n)+B(n)+C(n)=A(0)+B(0)+C(0)=60$임을 알 수 있다.

[문제 1-ii] 주어진 상수 값들을 대입하고 (문제 1-i) 결과를 이용하여 $\displaystyle C(n)=60-A(n)-B(n)$을 대입하여 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned} A(n+1) &= \frac{1}{3}A(n)+\frac{1}{2}B(n)+\frac{1}{6}C(n)=\frac{1}{6}A(n)+\frac{1}{3}B(n)+10, \\ B(n+1) &= \frac{1}{2}A(n)+\frac{1}{3}B(n)+\frac{1}{6}C(n)=\frac{1}{3}A(n)+\frac{1}{6}B(n)+10. \end{aligned}$양변을 더하면 $\displaystyle A(n+1)+B(n+1)=\frac{1}{2}A(n)+\frac{1}{2}B(n)+20$을 얻게 된다. 편의상 $\displaystyle \beta(n):=A(n)+B(n)$으로 표기하면 $\displaystyle \beta(n+1)=\frac{1}{2}\beta(n)+20$, $\displaystyle \beta(0)=30$이다. 그러면 $\displaystyle \beta(n+1)-40=\frac{1}{2}(\beta(n)-40)$이 되므로 $\displaystyle \beta(n)=-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+40$이다. $\displaystyle n=2011$일때의 값을 구하는 것이므로$\displaystyle A(2011)+B(2011)=-10\left(\frac{1}{2}\right)^{2011}+40$이 구하고자 하는 답이다. 한편 $\displaystyle C(n)=60-A(n)-B(n)$이고 $\displaystyle A(n)+B(n)$은 $\displaystyle n$이 무한으로 가면 40으로 수렴하므로 20으로 수렴하게 됨을 알 수 있다.