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자연계열 II 1번

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성균관대 2011학년도 수시 자연계열 II 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2011su/jayeon2_1

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[문제 1] 다음 <제시문 1-1>을 읽고 [문제 1-i]와 [문제 1-ii]에 대해 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1-1> 성균이는 다음의 카드놀이 게임을 하고자 한다. 1에서 2n\displaystyle 2n까지 숫자가 적힌 2n\displaystyle 2n장의 카드가 상자 안에 있다(여기서 n\displaystyle n은 양의 정수이다). 이 중에서 한 장의 카드를 뽑아 숫자를 확인한 후 남은 2n−1\displaystyle 2n-1장의 카드 중에서 한 장을 더 뽑는다고 한다. 성균이는 두 번째 카드의 숫자를 확인하기 전에 이미 숫자를 확인한 첫 번째 카드의 숫자보다 두 번째 카드의 숫자가 클 것인지 작을 것인지 정한다. 두 번째 카드의 숫자를 확인하여 성균이의 예상과 맞으면 게임을 이기고, 예상과 다르면 게임을 지는 것으로 한다. 만약 첫 번째 카드의 숫자가 n\displaystyle n보다 작거나 같다면 성균이는 두 번째 카드의 숫자가 첫 번째 카드의 숫자보다 클 것으로 예상하기로 했다. 또한 첫 번째 카드가 n\displaystyle n보다 큰 값이 나온다면 두 번째 카드의 숫자는 첫 번째 카드보다 작은 숫자가 나올 것으로 예상하기로 했다.

[문제 1-i] n=5\displaystyle n=5인 경우, 즉 1에서 10까지의 숫자가 적힌 10장의 카드를 가지고 게임을 할 때, 성균이가 게임을 이길 확률을 구하시오.

[문제 1-ii] n\displaystyle n이 한없이 커짐에 따라 성균이가 게임을 이길 확률이 어떤 값으로 수렴하는지 구하시오.

성균관대 2011학년도 수시 자연계열 II 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2011su/jayeon2_1

(1-i) 첫 번째 카드의 숫자가 k\displaystyle k 라고 하자. 두 번째 카드의 값이 k\displaystyle k 보다 클 확률은 10−k9\displaystyle \frac{10-k}{9} 이고 k\displaystyle k 보다 작을 확률은 k−19\displaystyle \frac{k-1}{9} 이 됨을 알 수 있다. 만약 k≤5\displaystyle k\le5 이면 철수는 위의 기준에 의해 두 번째 카드의 값이 크다고 예상할 것이고 그러므로 이길 확률은 10−k9\displaystyle \frac{10-k}{9} 이 된다. 한편 k>5\displaystyle k>5 이면 철수는 두 번째 카드의 값이 작다고 예상할 것이고 고로 이길 확률은 k−19\displaystyle \frac{k-1}{9} 이 된다. 첫 번째 카드의 숫자가 k\displaystyle k 일 확률은 110\displaystyle \frac{1}{10}이므로 철수가 이길 확률은 다음과 같다:Correction. 대학 예시답안의 “철수”는 제시문의 “성균이”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.110(∑k=1510−k9+∑k=610k−19)=190(∑k=15(10−k)+∑k=610(k−1))=190(∑k=15(11−2k)+∑k=110(k−1))=190(45+55−30)=79.\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{5}\frac{10-k}{9}+\sum_{k=6}^{10}\frac{k-1}{9}\right) &= \frac{1}{90}\left(\sum_{k=1}^{5}(10-k)+\sum_{k=6}^{10}(k-1)\right) \\ &= \frac{1}{90}\left(\sum_{k=1}^{5}\left(11-2k\right)+\sum_{k=1}^{10}(k-1)\right)=\frac{1}{90}(45+55-30)=\frac{7}{9}. \end{aligned}

(1-ii) 첫 번째 카드의 숫자가 k\displaystyle k 라고 하자 (k\displaystyle k는 1과 2n\displaystyle 2n사이의 값이다). 두 번째 카드의 값이 k\displaystyle k 보다 클 확률은 2n−k2n−1\displaystyle \frac{2n-k}{2n-1} 이고 k\displaystyle k 보다 작을 확률은 k−12n−1\displaystyle \frac{k-1}{2n-1} 이 됨을 알 수 있다. 만약 k≤n\displaystyle k\le n 이면 철수는 위의 기준에 의해 두 번째 카드의 값이 크다고 예상할 것이고 그러므로 이길 확률은 2n−k2n−1\displaystyle \frac{2n-k}{2n-1}이 된다. 한편 k>n\displaystyle k>n 이면 철수는 두 번째 카드의 값이 작다고 예상할 것이고 고로 이길 확률은 k−12n−1\displaystyle \frac{k-1}{2n-1} 이 된다. 첫 번째 카드의 숫자가 k\displaystyle k 일 확률은 12n\displaystyle \frac{1}{2n}이므로 철수가 이길 확률은 다음과 같다:12n(∑k=1n2n−k2n−1+∑k=n+12nk−12n−1)=12n(2n−1)(∑k=1n(2n−k)+∑k=n+12n(k−1))=12n(2n−1)(∑k=1n(2n+1−2k)+∑k=12n(k−1))=3n−12(2n−1).\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2n}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{2n-k}{2n-1}+\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{k-1}{2n-1}\right) &= \frac{1}{2n(2n-1)}\left(\sum_{k=1}^{n}(2n-k)+\sum_{k=n+1}^{2n}(k-1)\right) \\ &= \frac{1}{2n(2n-1)}\left(\sum_{k=1}^{n}(2n+1-2k)+\sum_{k=1}^{2n}(k-1)\right)=\frac{3n-1}{2(2n-1)}. \end{aligned}

이때 n\displaystyle n을 무한대로 보내면 게임을 이길 확률은 34\displaystyle \frac{3}{4}으로 수렴한다.

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