자연계열 II 1번

(1-i) 첫 번째 카드의 숫자가 $\displaystyle k$ 라고 하자. 두 번째 카드의 값이 $\displaystyle k$ 보다 클 확률은 $\displaystyle \frac{10-k}{9}$ 이고 $\displaystyle k$ 보다 작을 확률은 $\displaystyle \frac{k-1}{9}$ 이 됨을 알 수 있다. 만약 $\displaystyle k\le5$ 이면 철수는 위의 기준에 의해 두 번째 카드의 값이 크다고 예상할 것이고 그러므로 이길 확률은 $\displaystyle \frac{10-k}{9}$ 이 된다. 한편 $\displaystyle k>5$ 이면 철수는 두 번째 카드의 값이 작다고 예상할 것이고 고로 이길 확률은 $\displaystyle \frac{k-1}{9}$ 이 된다. 첫 번째 카드의 숫자가 $\displaystyle k$ 일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{10}$이므로 철수가 이길 확률은 다음과 같다:Correction. 대학 예시답안의 “철수”는 제시문의 “성균이”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{5}\frac{10-k}{9}+\sum_{k=6}^{10}\frac{k-1}{9}\right) &= \frac{1}{90}\left(\sum_{k=1}^{5}(10-k)+\sum_{k=6}^{10}(k-1)\right) \\ &= \frac{1}{90}\left(\sum_{k=1}^{5}\left(11-2k\right)+\sum_{k=1}^{10}(k-1)\right)=\frac{1}{90}(45+55-30)=\frac{7}{9}. \end{aligned}$

(1-ii) 첫 번째 카드의 숫자가 $\displaystyle k$ 라고 하자 ($\displaystyle k$는 1과 $\displaystyle 2n$사이의 값이다). 두 번째 카드의 값이 $\displaystyle k$ 보다 클 확률은 $\displaystyle \frac{2n-k}{2n-1}$ 이고 $\displaystyle k$ 보다 작을 확률은 $\displaystyle \frac{k-1}{2n-1}$ 이 됨을 알 수 있다. 만약 $\displaystyle k\le n$ 이면 철수는 위의 기준에 의해 두 번째 카드의 값이 크다고 예상할 것이고 그러므로 이길 확률은 $\displaystyle \frac{2n-k}{2n-1}$이 된다. 한편 $\displaystyle k>n$ 이면 철수는 두 번째 카드의 값이 작다고 예상할 것이고 고로 이길 확률은 $\displaystyle \frac{k-1}{2n-1}$ 이 된다. 첫 번째 카드의 숫자가 $\displaystyle k$ 일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2n}$이므로 철수가 이길 확률은 다음과 같다:$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2n}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{2n-k}{2n-1}+\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{k-1}{2n-1}\right) &= \frac{1}{2n(2n-1)}\left(\sum_{k=1}^{n}(2n-k)+\sum_{k=n+1}^{2n}(k-1)\right) \\ &= \frac{1}{2n(2n-1)}\left(\sum_{k=1}^{n}(2n+1-2k)+\sum_{k=1}^{2n}(k-1)\right)=\frac{3n-1}{2(2n-1)}. \end{aligned}$

이때 $\displaystyle n$을 무한대로 보내면 게임을 이길 확률은 $\displaystyle \frac{3}{4}$으로 수렴한다.