자연계열 수학2

[수학2 - ⅰ]<제시문3>에서 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$이고, <제시문2>에서 점 $\displaystyle P_a$의 좌표는 $\displaystyle (a,a^2)$이다. 선분 $\displaystyle \overline{AP_a}$를 이해하기 위해 이 두 점 $\displaystyle (1,0)$과 $\displaystyle (a,a^2)$을 지나는 직선의 방정식을 구하면 $\displaystyle y=\frac{a^2}{a-1}(x-1)$ 이다. 이 직선과 <제시문2>에 주어진 곡선의 식 $\displaystyle y=x^2$을 연립하여 $\displaystyle y$를 소거하면 $\displaystyle x^2=\frac{a^2}{a-1}(x-1)$을 얻는다. 즉, $\displaystyle (a-1)x^2-a^2x+a^2=0$이 성립한다. 이때 얻은 이차방정식의 해 $\displaystyle x$를 구하면Correction. 점 $\displaystyle A$의 좌표 $\displaystyle (0,1)$은 $\displaystyle (1,0)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}x&=\frac{a^2\pm\sqrt{a^4-4a^2(a-1)}}{2(a-1)}\\&=\frac{a^2\pm a(a-2)}{2(a-1)}\\&=a\text{ 또는 }\frac a{a-1}\end{aligned}$가 된다. 그런데 $\displaystyle x=a$일 때 점 $\displaystyle P_a$이므로, 다른 점 $\displaystyle Q_a$는$\displaystyle Q_a=\left(\frac a{a-1},\left(\frac a{a-1}\right)^2\right)$ 으로 주어진다.

[수학2 - ⅱ]<제시문3>에서 점 $\displaystyle O$의 좌표는 $\displaystyle (0,0)$이고, <제시문2>에서 점 $\displaystyle P_a$의 좌표는 $\displaystyle (a,a^2)$이므로 두 점 $\displaystyle O$와 점 $\displaystyle P_a$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=ax$이다. 따라서 <제시문1>에 정의된 영역의 넓이를 이용하기 위해 $\displaystyle p(x)=ax$와 $\displaystyle q(x)=x^2$이라 놓으면 $\displaystyle x$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle a$사이에서 <제시문1>의 조건 $\displaystyle p(x)\ge q(x)$를 만족한다. 따라서 적분공식을 이용하면$\displaystyle S_1(a)=\int_0^a[p(x)-q(x)]dx=\int_0^a[ax-x^2]dx=\Biggl[\frac{ax^2}2-\frac13x^3\Biggr]_0^a=\frac{a^3}6$이다.

[수학2 - ⅲ][수학2 - ⅰ]로부터 $\displaystyle Q_a$는 $\displaystyle \left(\frac a{a-1},\left(\frac a{a-1}\right)^2\right)$이고,<제시문1>에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}S_2(a)&=\int_{\frac a{a-1}}^a\left\{\frac{a^2}{a-1}(x-1)-x^2\right\}dx\\&=\Biggl[\frac{a^2}{a-1}\frac{(x-1)^2}2-\frac{x^3}3\Biggr]_{\frac a{a-1}}^a\\&=\left(\frac a{a-1}\right)^3\left\{\frac16(a-2)^3\right\}\end{aligned}$ 이다.<제시문2>로부터 점 $\displaystyle P_a$는 $\displaystyle (a,a^2)$이므로 선분 $\displaystyle \overline{Q_aP_a}$를 포함한 직선은 $\displaystyle y=p(x)=\frac{a^2}{a-1}(x-1)$이다. 곡선 $\displaystyle C$는 $\displaystyle y=g(x)=x^2$으로 표현되므로 문제에 제시된 조건 $\displaystyle S_2(a)=\left(\frac a{a-1}\right)^3\times g(a)$로부터 $\displaystyle g(a)=\frac16(a-2)^3$ 이다.Comment. 이 풀이의 $\displaystyle g(x)=x^2$와 문제에서 구하는 다항식 $\displaystyle g(a)$는 서로 다른 함수이다. 같은 문자 $\displaystyle g$를 두 뜻으로 사용한 점에 유의한다.

[수학2 - ⅳ]문제 [수학2 - ⅱ]에서 $\displaystyle S_1(a)=\frac16a^3$이었고,문제 [수학2 - ⅲ]에서 $\displaystyle S_2(a)=\frac16\left(\frac a{a-1}\right)^3(a-2)^2$를 얻었다. 이 두 식의 비를 쓰고 $\displaystyle a$를 무한대로 보내면 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{S_2(a)}{S_1(a)}=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac16\left(\frac a{a-1}\right)^3(a-2)^3}{\frac16a^3}$로 쓰여진다.Correction. 넓이 식의 $\displaystyle (a-2)^2$는 $\displaystyle (a-2)^3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그런데 $\displaystyle S_1(a)$과 $\displaystyle S_2(a)$의 최고차항은 모두 삼차항 $\displaystyle (a^3)$이고, 그 계수는 모두 $\displaystyle \frac16$이므로Comment. $\displaystyle S_2(a)$는 유리함수이므로 다항식과 같은 의미로 최고차항을 말할 수는 없다. 다만 $\displaystyle \frac{S_2(a)}{a^3/6}=\left(\frac{a-2}{a-1}\right)^3\to1$이므로, $\displaystyle a$가 한없이 커질 때 $\displaystyle S_2(a)$는 $\displaystyle \frac16a^3$에 대한 비가 1에 가까워진다. 대학 답안의 “최고차항”은 이러한 뜻으로 이해할 수 있으며, $\displaystyle S_1(a)=\frac16a^3$이므로 두 넓이의 비의 극한은 원문과 같이 1이다.$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{S_2(a)}{S_1(a)}=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac16a^3}{\frac16a^3}=1$이다.