수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보
해설강의 바로가기 ↓

성균관대 2014학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2014su/jayeon_1

배점미공개
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[수학1] 다음 <제시문1> ~ <제시문4>를 읽고 [수학1-ⅰ] ~ [수학1-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>자연수 n\displaystyle n에 대하여 n!\displaystyle n!은 n\displaystyle n 이하인 모든 자연수의 곱으로 정의한다. 즉,n!=n×(n−1)×⋯×2×1\displaystyle n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1이며 0!=1\displaystyle 0!=1로 정의한다.

<제시문2>자연수 n\displaystyle n과 0≤k≤n\displaystyle 0\le k\le n에 대하여, 이항계수 nCk\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}는 n\displaystyle n개의 사물 중 k\displaystyle k개의 사물을 선택하는 방법의 수로 정의하며, 다음의 식으로 주어진다.nCk=n!(n−k)!×k!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!\times k!}

<제시문3>자연수 n\displaystyle n에 대하여, 이항정리는 다음과 같다.(x+y)n=nC0xny0+nC1xn−1y1+⋯+nCnx0yn=∑k=0nnCkxn−kyk\displaystyle (x+y)^{n}={}_{n}\mathrm{C}_{0}x^{n}y^{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}y^{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}x^{0}y^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{n-k}y^{k}

<제시문4>자연수 n\displaystyle n에 대하여, an\displaystyle a_{n}을 방정식 x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)의 개수로 정의한다.

[수학1-ⅰ] 자연수 n\displaystyle n이 1 또는 2인 경우, 방정식 x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)를 모두 나열하고, <제시문4>에 정의된 an\displaystyle a_{n}의 초기항 a1\displaystyle a_{1}과 a2\displaystyle a_{2}의 값을 각각 구하시오.

[수학1-ⅱ] 2 이상인 자연수 n\displaystyle n에 대해 방정식 x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n을 만족하고 z\displaystyle z의 값이 1 이상인, 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)의 개수가 an−1\displaystyle a_{n-1}과 같음을 보이고, 이를 이용하여 an=an−1+n+1\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+n+1이 성립함을 논하시오.

[수학1-ⅲ] <제시문3>을 이용하여 부등식 2n≥n+1\displaystyle 2^{n}\ge n+1이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립하는 이유를 논하시오.

[수학1-ⅳ] <제시문4>에서 정의된 an\displaystyle a_{n}은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부등식 an≤2n+1\displaystyle a_{n}\le2^{n+1}을 만족한다. 그 이유를 문제 [수학1-ⅱ],[수학1-ⅲ]의 결과와 수학적 귀납법을 이용하여 논하시오.

심화 경우의 수의 귀납적 계산

이항정리

수학적 귀납법

성균관대 2014학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2014su/jayeon_1

ⅰ · <제시문4>에 제시된 상황을 구체적이고 가장 간단한 두 경우에 대해 올바르게 이해하고, 이를 논리적으로 서술할 수 있는지 평가한다.

an\displaystyle a_{n}의 초기항 a1\displaystyle a_{1}과 a2\displaystyle a_{2}를 구하기 위해 <제시문4>에 있는 an\displaystyle a_{n}의 정의를 이용한다.먼저 n=1\displaystyle n=1인 경우, x+y+z=1\displaystyle x+y+z=1의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)는 (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), (0,0,1)\displaystyle (0,0,1)으로 3개이다. 따라서 a1=3\displaystyle a_{1}=3이다.또, n=2\displaystyle n=2인 경우, x+y+z=2\displaystyle x+y+z=2의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)는 (2,0,0)\displaystyle (2,0,0), (0,2,0)\displaystyle (0,2,0), (0,0,2)\displaystyle (0,0,2), (1,1,0)\displaystyle (1,1,0), (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), (0,1,1)\displaystyle (0,1,1)으로 6개이다. 따라서 a2=6\displaystyle a_{2}=6이다.

ⅱ · 두 개의 서로 다른 상황 사이의 관계를 적절한 대응을 통해 해석할 수 있는지 여부를 평가한다. 그리고 문제에서 제기된 경우의 수를 일반적인 경우에 도출해 내기 위해 조합적인 사고를 논리적으로 해낼 수 있는지 여부를 평가한다.

문제에서 z\displaystyle z의 값이 1이상(z≥1\displaystyle z\ge1)이라고 하였으므로, z′=z−1\displaystyle z^{\prime}=z-1은 음이 아닌 정수가 된다. 그런데 x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)가 z≥1\displaystyle z\ge1을 만족한다면, z=z′+1\displaystyle z=z^{\prime}+1로 치환을 하면 x+y+z=x+y+(z′+1)=n\displaystyle x+y+z=x+y+(z^{\prime}+1)=n이 되어, x+y+z′=n−1\displaystyle x+y+z^{\prime}=n-1을 만족하게 된다. 즉, x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z) 중에서 z≥1\displaystyle z\ge1을 만족하는 것과 x+y+z′=n−1\displaystyle x+y+z^{\prime}=n-1을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z′)\displaystyle (x,y,z^{\prime})이 일대일 대응관계를 가진다. 여기서 후자의 순서쌍 개수는 <제시문4>에 주어진 an\displaystyle a_{n}의 정의로부터 an−1\displaystyle a_{n-1}과 같다. 따라서 전자의 순서쌍 개수 역시 an−1\displaystyle a_{n-1}과 같다.

이제 x+y+z=n\displaystyle x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x,y,z)\displaystyle (x,y,z)를 z≥1\displaystyle z\ge1인 경우와 z=0\displaystyle z=0인 경우로 나누자. 전자인 경우의 개수는 앞 문단에서 an−1\displaystyle a_{n-1}임을 보였다. 후자인 경우는 (x,y)=(n,0),(n−1,1), ⋯ ,(0,n)\displaystyle (x,y)=(n,0),(n-1,1),\ \cdots,(0,n)이 되어 총 n+1\displaystyle n+1개가 된다.따라서, an\displaystyle a_{n}은 이 둘의 합이 되어 an=an−1+(n+1)\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n+1)이다.

ⅲ · <제시문>에 주어진 이항정리를 특수한 경우에 적용하여, 의미있는 항등식과 부등식을 도출해 내는 논리전개 과정을 평가한다.

<제시문3>에 주어진 이항정리식에 x=y=1\displaystyle x=y=1이라는 값을 대입하면, 좌변은 (x+y)n=(1+1)n=2n\displaystyle (x+y)^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}이 되고, 좌변에 대입하면 ∑k=0nnCkXn−kYk=∑k=0nnCk1n−k1k=∑k=0nnCk\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}X^{n-k}Y^{k}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}1^{n-k}1^{k}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}이다.Correction. 대학 해설의 “좌변에 대입하면”은 “우변에 대입하면”이어야 한다. 또한 X\displaystyle X, Y\displaystyle Y는 <제시문3>의 x\displaystyle x, y\displaystyle y를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그런데 <제시문1>과 <제시문2>에 정의된 이항계수 nCk\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}는 모든 k\displaystyle k에 대해 nCk≥1\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\ge1이므로 ∑k=0nnCk≥∑k=0n1=n+1\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\ge\sum_{k=0}^{n}1=n+1이다. 좌변과 우변의 결과를 비교하면 2n≥n+1\displaystyle 2^{n}\ge n+1(n\displaystyle n은 자연수)라고 결론내릴 수 있다.

ⅳ · 자연수에 대해서 정의된 명제를 증명하기 위해 수학적 귀납법을 사용하여 논리전개하는 과정을 평가한다.

수학적 귀납법을 이용하기 위해 우선 a1\displaystyle a_{1}을 계산하면 a1=3<4=21+1\displaystyle a_{1}=3<4=2^{1+1}이므로 n=1\displaystyle n=1일 때 문제에 주어진 부등식을 만족한다. an−1≤2n\displaystyle a_{n-1}\le2^{n}이 성립한다고 가정하면,an=an−1+(n+1)≤2n+2n=2×2n=2n+1\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n+1)\le2^{n}+2^{n}=2\times2^{n}=2^{n+1}이 성립하게 되어, 수학적 귀납법에 의해 주어진 부등식은 모든 자연수에 대해 항상 성립한다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.