자연계열 1번

$\displaystyle a_{n}$의 초기항 $\displaystyle a_{1}$과 $\displaystyle a_{2}$를 구하기 위해 <제시문4>에 있는 $\displaystyle a_{n}$의 정의를 이용한다.먼저 $\displaystyle n=1$인 경우, $\displaystyle x+y+z=1$의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$는 $\displaystyle (1,0,0)$, $\displaystyle (0,1,0)$, $\displaystyle (0,0,1)$으로 3개이다. 따라서 $\displaystyle a_{1}=3$이다.또, $\displaystyle n=2$인 경우, $\displaystyle x+y+z=2$의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$는 $\displaystyle (2,0,0)$, $\displaystyle (0,2,0)$, $\displaystyle (0,0,2)$, $\displaystyle (1,1,0)$, $\displaystyle (1,0,1)$, $\displaystyle (0,1,1)$으로 6개이다. 따라서 $\displaystyle a_{2}=6$이다.

문제에서 $\displaystyle z$의 값이 1이상($\displaystyle z\ge1$)이라고 하였으므로, $\displaystyle z^{\prime}=z-1$은 음이 아닌 정수가 된다. 그런데 $\displaystyle x+y+z=n$의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$가 $\displaystyle z\ge1$을 만족한다면, $\displaystyle z=z^{\prime}+1$로 치환을 하면 $\displaystyle x+y+z=x+y+(z^{\prime}+1)=n$이 되어, $\displaystyle x+y+z^{\prime}=n-1$을 만족하게 된다. 즉, $\displaystyle x+y+z=n$의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$ 중에서 $\displaystyle z\ge1$을 만족하는 것과 $\displaystyle x+y+z^{\prime}=n-1$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z^{\prime})$이 일대일 대응관계를 가진다. 여기서 후자의 순서쌍 개수는 <제시문4>에 주어진 $\displaystyle a_{n}$의 정의로부터 $\displaystyle a_{n-1}$과 같다. 따라서 전자의 순서쌍 개수 역시 $\displaystyle a_{n-1}$과 같다.

<제시문3>에 주어진 이항정리식에 $\displaystyle x=y=1$이라는 값을 대입하면, 좌변은 $\displaystyle (x+y)^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}$이 되고, 좌변에 대입하면 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}X^{n-k}Y^{k}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}1^{n-k}1^{k}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}$이다.Correction. 대학 해설의 “좌변에 대입하면”은 “우변에 대입하면”이어야 한다. 또한 $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$는 <제시문3>의 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그런데 <제시문1>과 <제시문2>에 정의된 이항계수 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}$는 모든 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\ge1$이므로 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\ge\sum_{k=0}^{n}1=n+1$이다. 좌변과 우변의 결과를 비교하면 $\displaystyle 2^{n}\ge n+1$($\displaystyle n$은 자연수)라고 결론내릴 수 있다.

수학적 귀납법을 이용하기 위해 우선 $\displaystyle a_{1}$을 계산하면 $\displaystyle a_{1}=3<4=2^{1+1}$이므로 $\displaystyle n=1$일 때 문제에 주어진 부등식을 만족한다. $\displaystyle a_{n-1}\le2^{n}$이 성립한다고 가정하면,$\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n+1)\le2^{n}+2^{n}=2\times2^{n}=2^{n+1}$이 성립하게 되어, 수학적 귀납법에 의해 주어진 부등식은 모든 자연수에 대해 항상 성립한다.