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자연계열 수학1

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성균관대 2015학년도 모의 자연계열 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2015mo/jayeon_1

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문제

[ 수학1 ]다음 <제시문1> 과 <제시문2>를 읽고 [수학1 - ⅰ] ~ [수학1-ⅲ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 x\displaystyle x가 a\displaystyle a와 다른 값을 가지면서 a\displaystyle a에 한없이 가까워질 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 일정한 값 α\displaystyle \alpha에 한없이 가까워지면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 α\displaystyle \alpha에 수렴한다고 하며, 이것을 기호로lim⁡x→af(x)=α\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha와 같이 나타낸다.

<제시문2>다음 그림과 같이 대각선의 길이가 2a\displaystyle 2a인 정사각형을 세부분으로 나누려고한다(단, a>0\displaystyle a>0).

대각선의 양 끝에서 거리가 x인 두 평행선으로 정사각형 AGDH를 자른 그림

[수학1 - ⅰ] 0<x<a\displaystyle 0<x<a에 대하여 육각형 ABCDEF 의 넓이 S(x)\displaystyle S(x)를 구하시오.

[수학1 - ⅱ] 정사각형 AGDH의 넓이가 삼등분되기 위한 x\displaystyle x의 값을 구하시오.

[수학1 - ⅲ] 극한값 lim⁡x→as(x)l(x)\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{s(x)}{l(x)}의 값을 구하시오.Correction. 소문자 s(x)\displaystyle s(x)는 넓이 S(x)\displaystyle S(x)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

성균관대 2015학년도 모의 자연계열 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2015mo/jayeon_1

+2점 · 정사각형 AGDH의 넓이 2a2\displaystyle 2a^2를 구할 수 있다.
+1점 · 삼각형 BGC의 넓이 x2\displaystyle x^2를 구할 수 있다.
+2점 · 육각형 ABCDEF의 넓이 S(x)=2(a2−x2)\displaystyle S(x)=2(a^2-x^2)을 구할 수 있다. ※ 육각형 ABCDEF의 넓이 S(x)\displaystyle S(x)를 직접 계산할 수 있지만 식이 복잡해지므로 적절한 감점 부여.
+2점 · 답안의 논리적 작성.

[수학1 - ⅰ]대각선의 길이가 2a\displaystyle 2a인 정사각형의 한 변의 길이는 2a\displaystyle \sqrt2a이므로 정사각형 AGDH의 넓이는 2a2\displaystyle 2a^2이다. 또한 삼각형 BGC의 넓이는 x2\displaystyle x^2이다. 따라서 육각형 ABCDEF의 넓이 S(x)\displaystyle S(x)는 다음과 같이 주어진다.S(x)=2a2−2x2=2(a2−x2).\displaystyle S(x)=2a^2-2x^2=2(a^2-x^2).

+2점

[수학1 - ⅱ]정사각형 AGDH의 넓이가 삼등분되기 위해서는 삼각형 BGC의 넓이가 정사각형 AGDH의 넓이의 1/3\displaystyle 1/3이 되어야 한다.

+3점 · x=63a\displaystyle x=\frac{\sqrt6}3a를 구할 수 있다. ※ 육각형 ABCDEF의 넓이 S(x)\displaystyle S(x)로 계산할 수 있지만 식이 복잡해지므로 1점 감점 부여.
+2점 · 답안의 논리적 작성.

따라서2a23=x2 ⇒ x=63a.\displaystyle \frac{2a^2}3=x^2\ \Rightarrow\ x=\frac{\sqrt6}3a.

+1점 · l(x)=2a−2x\displaystyle l(x)=2a-2x를 구할 수 있다.
+3점 · 극한값 lim⁡x→as(x)l(x)\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{s(x)}{l(x)}을 구할 수 있다.
+2점 · 답안의 논리적 작성.

[수학1 - ⅲ]대각선의 길이가 2a\displaystyle 2a이므로, l(x)=2a−2x\displaystyle l(x)=2a-2x. 따라서lim⁡x→as(x)l(x)=lim⁡x→a2(a2−x2)2(a−x)=lim⁡x→a2(a−x)(a+x)2(a−x)=lim⁡x→a(a+x)=2a.\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{s(x)}{l(x)}=\lim_{x\to a}\frac{2(a^2-x^2)}{2(a-x)}=\lim_{x\to a}\frac{2(a-x)(a+x)}{2(a-x)}=\lim_{x\to a}(a+x)=2a.Correction. 소문자 s(x)\displaystyle s(x)는 넓이 S(x)\displaystyle S(x)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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