자연계열 수학2

[수학2 - ⅰ]$\displaystyle y=\frac12x^2$이므로 $\displaystyle y^{\prime}=x$이다. 따라서 <제시문1>에 의하여 접선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle y-\frac12a^2=a(x-a)\ \Rightarrow\ y=ax-\frac12a^2$

[수학2 - ⅱ]두 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle l^{\prime}$은 서로 수직이므로 <제시문2>에 의하여 직선 $\displaystyle l^{\prime}$의 기울기는 $\displaystyle -\frac1a$이다. 직선 $\displaystyle l^{\prime}$이 점 $\displaystyle P\left(a,\frac12a^2\right)$를 지나므로 직선 $\displaystyle l^{\prime}$의 방정식은$\displaystyle y-\frac12a^2=-\frac1a(x-a)\ \Rightarrow\ y=-\frac1ax+1+\frac12a^2.$따라서 포물선 $\displaystyle y=\frac12x^2$과 직선 $\displaystyle l^{\prime}$의 교점은$\displaystyle \begin{aligned}\frac12x^2=-\frac1ax+1+\frac12a^2\ &\Rightarrow\ x^2+\frac2ax-a^2-2=0\\&\Rightarrow\ (x-a)\left(x+\left(a+\frac2a\right)\right)=0\quad\left(P\left(a,\frac12a^2\right)\text{는 하나의 교점}\right)\\&\Rightarrow\ Q\text{의 좌표는 }\left(-\left(a+\frac2a\right),\ \frac12\left(a+\frac2a\right)^2\right)\end{aligned}$

[수학2 - ⅲ]$\displaystyle S_1$의 넓이$\displaystyle =\int_{-\left(a+\frac2a\right)}^0\frac12x^2dx=\frac16\left(a+\frac2a\right)^3$.$\displaystyle S_2$의 넓이$\displaystyle =\int_0^a\frac12x^2dx=\frac16a^3$.

[수학2 - ⅳ]$\displaystyle \begin{aligned}S_1\text{과 }S_2\text{의 넓이는 같다}\quad&\Leftrightarrow\ \frac16\left(a+\frac2a\right)^3=\frac16a^3\\&\Leftrightarrow\ \left(a+\frac2a\right)^3=a^3\\&\Leftrightarrow\ \frac2a=0,\end{aligned}$이는 모순이다. 따라서 모든 $\displaystyle a>0$에 대하여 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$의 넓이는 같지 않다.