자연계열 수학1

[수학 1-i]포물선의 방정식이 $\displaystyle y=f(x)=x^2$로 주어졌으므로, $\displaystyle \frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)=2x$이다.이때 접선 $\displaystyle L_0$의 접점의 좌표는 $\displaystyle (a_1,a_1^2)$이므로 접선의 방정식은 <제시문1>에 의하여 $\displaystyle y-a_1^2=2a_1(x-a_1)$이다.이 직선이 점 $\displaystyle (a_0,0)=(1,0)$을 지나므로, 식 $\displaystyle -a_1^2=2a_1(1-a_1)$을 얻게 된다.이를 정리하면 $\displaystyle a_1^2-2a_1=a_1(a_1-2)=0$을 얻게 된다.이때 <제시문2>에 의해 $\displaystyle a_1$은 $\displaystyle 0$이 아니므로, $\displaystyle a_1=2$이다.

따라서 접선 $\displaystyle L_0$의 방정식은 기울기가 $\displaystyle 4$이므로, $\displaystyle L_0$에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac14$이다.따라서 $\displaystyle L_0$에 수직이며 접점을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-4=-\frac14(x-2)$이다.

이 방정식과 $\displaystyle y=x^2$연립하면, $\displaystyle (x-2)(4x+9)=0$이 되므로 접점이 아닌 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle b_1=-\frac94$이다.

[수학 1-ii]일반적으로 접선 $\displaystyle L_n$의 방정식은 $\displaystyle y-a_{n+1}^2=2a_{n+1}(x-a_{n+1})$이고,점 $\displaystyle (a_n,0)$을 지나므로 $\displaystyle -a_{n+1}^2=2a_{n+1}(a_n-a_{n+1})$을 만족한다.$\displaystyle a_{n+1}$은 $\displaystyle 0$이 아닌 실수이므로 $\displaystyle -a_{n+1}=2(a_n-a_{n+1})$이 성립하고,이를 정리하면 $\displaystyle a_{n+1}=2a_n$이다.즉, 실수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 초기항 $\displaystyle a_0=1$이고 공비가 $\displaystyle 2$인 등비수열이므로, 일반항은 $\displaystyle a_n=2^n$이다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}=1$이다.

[수학 1-iii]일반적으로 접선 $\displaystyle L_n$에 수직이고 접점을 지나는 직선의 방정식은,$\displaystyle y-a_{n+1}^2=-\frac1{2a_{n+1}}(x-a_{n+1})$이다.

이 직선이 포물선 $\displaystyle y=x^2$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle b_{n+1}$은 방정식 $\displaystyle b_{n+1}^2-a_{n+1}^2=-\frac1{2a_{n+1}}(b_{n+1}-a_{n+1})$을 만족한다.$\displaystyle b_{n+1}\ne a_{n+1}$이므로 $\displaystyle b_{n+1}+a_{n+1}=-\frac1{2a_{n+1}}$을 만족한다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac1{2a_n}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n+1}}=-\frac12$이다.