자연계열 수학2

[수학 2-i]문제의 적분 $\displaystyle \int_0^{2016}f(x)dx$은 정적분의 성질로부터 다음과 같다.$\displaystyle \sum_{n=0}^{1007}\int_{2n}^{2n+2}f(x)dx=\int_0^2 f(x)dx+\int_2^4 f(x)dx+\cdots+\int_{2014}^{2016}f(x)dx$

치환 $\displaystyle x=z+2n$으로부터 $\displaystyle \int_{2n}^{2n+2}f(x)dx=\int_0^2 f(z+2n)dz$를 얻게 되고,<제시문1>에 의해 이는 다시 $\displaystyle \int_0^2 f(z)dz=1$과 같게 된다.따라서 문제의 적분은 $\displaystyle \sum_{n=0}^{1007}1=1008$이다.

[수학 2-ii]<제시문2>로부터 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여 다음을 알 수 있다.$\displaystyle g(a)=\begin{cases}1&,\quad a>\frac12\\2n+1&,\quad\frac1{2n+2}<a<\frac1{2n}\\2n&,\quad a=\frac1{2n}\end{cases}$

따라서 $\displaystyle g\left(\frac1n\right)=n$임을 알 수 있고, 문제의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{100}g\left(\frac1n\right)=\sum_{n=1}^{100}n=\frac{100\times101}2=5050$이다.

[수학 2-iii]양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle \frac1{2n+2}<a<\frac1{2n}$일 때, $\displaystyle g(a)=2n+1$이므로, $\displaystyle x\in(n\pi,(n+1)\pi)$에서 $\displaystyle h(x)=(2n+1)\times\sin(x)$이다.마찬가지 방식으로, $\displaystyle h(n\pi)=0$이고, $\displaystyle x\in(0,\pi)$일 때 $\displaystyle h(x)=\sin(x)$임을 알 수 있다.이를 종합하면, 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle x\in[n\pi,(n+1)\pi]$에서 $\displaystyle h(x)=(2n+1)\times\sin(x)$임을 알 수 있다.

문제의 적분 $\displaystyle \int_{\pi}^{51\pi}|h(x)|dx$는 정적분의 성질로부터 $\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}h(x)dx+\cdots+\int_{50\pi}^{51\pi}h(x)dx$와 같음을 알 수 있고,Correction. 구간별로 나눈 적분의 피적분함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle |h(x)|$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이는 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 정의로부터 $\displaystyle 3\times\int_{\pi}^{2\pi}|\sin(x)|dx+\cdots+101\times\int_{50\pi}^{51\pi}|\sin(x)|dx$과 같다.$\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin(x)|dx=\int_0^{\pi}\sin(x)dx=2$이므로, 문제의 적분값은 $\displaystyle (3+5+\cdots+101)\times2=5200$이다.