자연계열 수학1

[수학1 - ⅰ]$\displaystyle n=3$일 때, 집합 $\displaystyle P_3$은 $\displaystyle 0$이상이고 $\displaystyle 3$이하인 정수의 쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수이므로, 총 $\displaystyle 4^2=16$개의 원소를 가진다.

집합 $\displaystyle P_3-S_3$의 원소 중, $\displaystyle y\le x$인 점은 $\displaystyle (1,0),(2,0),(3,0)$으로 대칭성에 의해 집합 $\displaystyle P_3-S_3$의 원소의 개수는 $\displaystyle 6$이다. 따라서, 집합 $\displaystyle S_3$는 $\displaystyle 10$개의 원소를 가진다.

[수학1 - ⅱ]자연수 $\displaystyle n$이 $\displaystyle 3$의 배수이므로, $\displaystyle n=3k$라고 두자. 집합 $\displaystyle P_n-S_n$의 원소 중, $\displaystyle y\le x$인 점은$\displaystyle (1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(4,1),(5,0),\cdots,(3k,k-1)$으로 총 개수는 $\displaystyle (1+1+1)+(2+2+2)+\cdots+(k+k+k)$이고 이는 <제시문1>에 의하여 $\displaystyle \frac32k(k+1)$과 같다.

$\displaystyle k=\frac n3$이므로, 이는 $\displaystyle \frac{n(n+3)}6$과 같다.따라서 집합 $\displaystyle P_n-S_n$의 원소의 개수는 $\displaystyle (n+1)^2-\frac{n(n+3)}3=\frac23n^2+n+1$이다.Correction. 마지막 식에서 “집합 $\displaystyle P_n-S_n$의 원소의 개수”는 “집합 $\displaystyle S_n$의 원소의 개수”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[수학1 - ⅲ]자연수 $\displaystyle n$이 $\displaystyle 3k\le n\le3k+2$일 때, $\displaystyle S_n$의 원소의 개수는 $\displaystyle \frac23n^2+n+1$ 이상이고, $\displaystyle \frac23(n+1)^2+(n+1)+1=\frac23n^2+\frac73n+\frac83$보다 작다. 따라서 $\displaystyle \frac{(S_n\text{의 원소의 개수})}{(P_n\text{의 원소의 개수})}$는 $\displaystyle \left(\frac23n^2+n+1\right)/(n+1)^2$ 이상이고, $\displaystyle \left(\frac23n^2+\frac73n+\frac83\right)/(n+1)^2$보다 작다.

그러므로, <제시문3>에 의하여, 그 극한값은 $\displaystyle \frac23$이다.Caution. 제시문이나 앞 문항의 결론을 적용할 때에는 필요한 조건이 현재 대상에서도 성립하는지 확인해야 한다: (ii)의 원소 수 공식은 $\displaystyle n$이 3의 배수일 때만 성립한다. 이를 (iii)의 모든 자연수 $\displaystyle n$에 그대로 적용할 수는 없다. 실제로 $\displaystyle n=4$이면 $\displaystyle |S_4|=15<47/3$이므로 원문에 제시된 하한은 성립하지 않는다. $\displaystyle 3k\le n\le3k+2$에서 $\displaystyle S_{3k}\subseteq S_n\subseteq S_{3k+3}$을 이용하면 최종 극한값 $\displaystyle 2/3$은 얻을 수 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.