자연계열 수학2

[수학2 - ⅰ]정$\displaystyle n$각형의 꼭지점을 순서대로 $\displaystyle P_1,\ldots,P_n$이라고 하고, 그 중심을 $\displaystyle O$라고 하면, 이등변삼각형 $\displaystyle P_iOP_{i+1}$의 꼭지각은 $\displaystyle \frac{2\pi}n$이 된다. 이로부터 이 삼각형의 밑변의 길이는 $\displaystyle 2r\sin\left(\frac\pi n\right)$이고 높이는 $\displaystyle r\cos\left(\frac\pi n\right)$이다.

따라서 그 넓이는 $\displaystyle r^2\sin\left(\frac\pi n\right)\cos\left(\frac\pi n\right)=\frac{r^2}2\sin\left(\frac{2\pi}n\right)$이 된다. 그리하여 정$\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{nr^2}2\sin\left(\frac{2\pi}n\right)$이다.

[수학2 - ⅱ]원과 내접하는 정$\displaystyle n$각형의 넓이의 비는 $\displaystyle \frac{nr^2\sin\left(\frac{2\pi}n\right)/2}{\pi r^2}=\frac n{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi}n\right)$이다.

입체도형 $\displaystyle V_n$을 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$위의 임의의 점 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라고 하고, 구 $\displaystyle A$의 단면의 넓이를 $\displaystyle T(x)$라고 하자. <제시문2>에 의하여 $\displaystyle V_n$의 부피는 $\displaystyle \int_{-1}^1S(x)dx$이고, 이는 $\displaystyle \int_{-1}^1\frac n{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi}n\right)T(x)dx=\frac n{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi}n\right)\int_{-1}^1T(x)dx$와 같다. <제시문1>에 의하여 $\displaystyle \int_{-1}^1T(x)dx=\frac{4\pi}3$이므로, $\displaystyle V_n$의 부피는 $\displaystyle \frac{2n}3\sin\left(\frac{2\pi}n\right)$이다.

[수학2 - ⅲ]$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$이다.

이를 이용하면, $\displaystyle V_n$의 부피의 극한값은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}3\sin\left(\frac{2\pi}n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{4\pi}3\times\frac{\sin\left(\frac{2\pi}n\right)}{\frac{2\pi}n}$이고, 그 값은 $\displaystyle \frac{4\pi}3$이다.