자연계열 수학1

성균관대 2019학년도 모의 자연계열 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2019mo/jayeon_1

[수학1]다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학1-ⅰ] ~ [수학1-ⅱ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>좌표 평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{B}(0,a)$ $\displaystyle (-1<a<1)$ 를 $\displaystyle y$ 축 위에 잡고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 평행한 직선이 포물선 $\displaystyle y=x^2-1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{C}$ , $\displaystyle \mathrm{D}$ 라 한다.

<제시문2>선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$ , 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ , 그리고 포물선 $\displaystyle y=x^2-1$ 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle S_0$ 라 하고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 의 넓이를 $\displaystyle S_1$ 라 한다. $\displaystyle S_0$ 에서 $\displaystyle S_1$ 을 뺀 값을 $\displaystyle S_2$ 라 정의하고, $\displaystyle S=S_1\times S_2$ 라 정의한다.

<제시문3>구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ 이다.

[수학1-ⅰ] $\displaystyle S$ 를 $\displaystyle a$ 의 함수로 나타내고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅱ] $\displaystyle S$ 의 최댓값과 그때의 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2019학년도 모의 자연계열 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2019mo/jayeon_1

+4점 ·

\displaystyle S_1

을

\displaystyle a

를 이용하여 나타내고 그 이유를 제시할 수 있다.

[수학1-ⅰ]문제의 조건에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 혹은 $\displaystyle \mathrm{D}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle b$ 라 하면 $\displaystyle b^2-1=a$ 를 만족해야 한다. 따라서 $\displaystyle b=\pm\sqrt{a+1}$ 이 되고, 일반성을 잃지 않고 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 각각 $\displaystyle \mathrm{C}\left(-\sqrt{a+1},a\right),\quad \mathrm{D}\left(\sqrt{a+1},a\right)$ 라 둘 수 있다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 의 넓이는 $\displaystyle S_1=\frac12\times(1-a)\times2\sqrt{a+1}=(1-a)\sqrt{a+1}$ 가 된다.

+4점 ·

\displaystyle S_2

를

\displaystyle a

를 이용하여 나타내고 그 이유를 제시할 수 있다.

한편 <제시문3>에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}S_2&=\int_{-\sqrt{a+1}}^{\sqrt{a+1}}a-(x^2-1)\,dx\\&=-\frac23\sqrt{(a+1)^3}+2(a+1)\sqrt{a+1}\\&=\frac43\sqrt{(a+1)^3}\end{aligned}$

+2점 ·

\displaystyle S_2

를

\displaystyle a

를 이용하여 나타내고 그 이유를 제시할 수 있다.

Correction. 마지막 2점 기준의 $\displaystyle S_2$ 는 $\displaystyle S$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle S=S_1\times S_2=\frac43(1-a)(a+1)^2$ 을 얻는다.

+2점 ·

\displaystyle S

의 도함수를 구할 수 있다.

[수학1-ⅱ] $\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac43(1-a)(a+1)^2\\&=\frac43(-a^3-a^2+a+1)\end{aligned}$ 를 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}=-\frac43(a+1)(3a-1)$ 를 얻는다. 증감표를 조사하면

$a$	−1		$\frac13$		1
$S^{\prime}$		+		−
$S$	0	↗	$S\left(\frac13\right)$	↘	0

+4점 · 증감표를 이용하여 함수의 증가 감소를 나타낼 수 있다.

+4점 · 최댓값을 가지는

\displaystyle a

와 그때의 최댓값을 구할 수 있다.

가 되어 $\displaystyle a=\frac13$ 일 때 최댓값을 가짐을 알 수 있고 이때 최댓값은 $\displaystyle S\left(\frac13\right)=\frac{128}{81}$ 이 된다.

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