자연계열 수학1

[수학1-ⅰ]문제의 조건에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 혹은 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle b$라 하면 $\displaystyle b^2-1=a$를 만족해야 한다. 따라서 $\displaystyle b=\pm\sqrt{a+1}$이 되고, 일반성을 잃지 않고 점$\displaystyle \mathrm{C}$와 점$\displaystyle \mathrm{D}$를 각각$\displaystyle \mathrm{C}\left(-\sqrt{a+1},a\right),\quad \mathrm{D}\left(\sqrt{a+1},a\right)$라 둘 수 있다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 넓이는$\displaystyle S_1=\frac12\times(1-a)\times2\sqrt{a+1}=(1-a)\sqrt{a+1}$가 된다.

한편 <제시문3>에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}S_2&=\int_{-\sqrt{a+1}}^{\sqrt{a+1}}a-(x^2-1)\,dx\\&=-\frac23\sqrt{(a+1)^3}+2(a+1)\sqrt{a+1}\\&=\frac43\sqrt{(a+1)^3}\end{aligned}$

따라서$\displaystyle S=S_1\times S_2=\frac43(1-a)(a+1)^2$을 얻는다.

[수학1-ⅱ]$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac43(1-a)(a+1)^2\\&=\frac43(-a^3-a^2+a+1)\end{aligned}$를 미분하면$\displaystyle S^{\prime}=-\frac43(a+1)(3a-1)$를 얻는다. 증감표를 조사하면

가 되어 $\displaystyle a=\frac13$일 때 최댓값을 가짐을 알 수 있고 이때 최댓값은$\displaystyle S\left(\frac13\right)=\frac{128}{81}$이 된다.