자연계열 수학2

[수학2-ⅰ]삼각형 $\displaystyle \mathrm{E}_1\mathrm{D}_1\mathrm{C}_1$은 정삼각형이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{E}_1\mathrm{D}_1\mathrm{C}_1=\frac\pi3$이다. 한편 $\displaystyle \angle\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1\mathrm{C}_1=\frac\pi4$이고 $\displaystyle \mathrm{B}_2$는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}_1\mathrm{B}_1}$와 원호 $\displaystyle \overset{\frown}{\mathrm{A}_1\mathrm{C}_1}$의 교점이므로$\displaystyle \angle\mathrm{E}_1\mathrm{D}_1\mathrm{B}_2=\frac\pi4-\frac\pi3=\frac\pi{12}$Correction. 각도 차를 구한 식에서 $\displaystyle \pi/4-\pi/3$은 $\displaystyle \pi/3-\pi/4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.임을 알 수 있다.

따라서 원호 $\displaystyle \overset{\frown}{\mathrm{E}_1\mathrm{B}_2}$의 길이는$\displaystyle 1\times\frac\pi{12}=\frac\pi{12}$이고, 도형 $\displaystyle \mathrm{E}_1\mathrm{F}_1\mathrm{G}_1\mathrm{H}_1$의 둘레의 길이는$\displaystyle 8\times\frac\pi{12}=\frac23\pi$이다.

[수학2-ⅱ]대각선 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{C}_1}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1}$가 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{O}$라 하자.오른쪽 그림에서$\displaystyle \overline{\mathrm{D}_1\mathrm{O}}=\frac12\overline{\mathrm{D}_1\mathrm{B}_1}=\frac{\sqrt2}2$　- (1)$\displaystyle \overline{\mathrm{D}_2\mathrm{O}}=\overline{\mathrm{OB}_2}=\overline{\mathrm{D}_1\mathrm{B}_2}-\overline{\mathrm{D}_1\mathrm{O}}=1-\frac{\sqrt2}2$　-(2)임을 알 수 있다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OD}_2\mathrm{C}_2$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OD}_1\mathrm{C}_1$이 닮은 삼각형이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{OD}_2}:\overline{\mathrm{OD}_1}=\overline{\mathrm{D}_2\mathrm{C}_2}:\overline{\mathrm{D}_1\mathrm{C}_1}$가 성립하고, (1)과 (2)를 대입하면$\displaystyle 1-\frac{\sqrt2}2:\frac{\sqrt2}2=\overline{\mathrm{D}_2\mathrm{C}_2}:1$을 얻는다. 이로부터$\displaystyle \overline{\mathrm{D}_2\mathrm{C}_2}=\sqrt2-1$임을 알 수 있다.

[수학2-ⅲ][수학2-ⅱ] 로부터$\displaystyle S_{n+1}=(\sqrt2-1)^2S_n=(3-2\sqrt2)S_n$가 성립함을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle S_n$은 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공비가 $\displaystyle 3-2\sqrt2$인 등비수열이므로$\displaystyle S_n=(3-2\sqrt2)^{n-1}$

이고, <제시문4>로 부터$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}(3-2\sqrt2)^{n-1}=\frac1{1-(3-2\sqrt2)}=\frac1{2\sqrt2-2}=\frac{\sqrt2+1}2$를 얻는다.