자연계열 수학1

[수학1-ⅰ]$\displaystyle uv=0$일 때 곡선 $\displaystyle C$는 선분이 되며, 이 선분이 $\displaystyle P$와 만나게 될 필요충분조건은 $\displaystyle u^2=1$ 또는 $\displaystyle v^2=1$이다. 즉, $\displaystyle (u,v)\in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$이다.

$\displaystyle uv\ne0$을 가정하고, 이 때 곡선 $\displaystyle C$가 $\displaystyle P$에 접하기 위한 조건을 살펴보자. 곡선 $\displaystyle C$위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_0x}{u^2}+\frac{y_0y}{v^2}=1$이므로, 곡선 $\displaystyle C$가 $\displaystyle P$에 제 $\displaystyle 1$사분면에서 접하기 위한 조건은 이 접선이 $\displaystyle P$를 이루는 네 개의 선분 중 하나여야 한다는 것이다.이로부터 $\displaystyle \left|\frac{x_0}{u^2}\right|=\left|\frac{y_0}{v^2}\right|=1$을 얻게 되고, 이를 식 $\displaystyle \frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{v^2}=1$에 대입하면 $\displaystyle u^2+v^2=1$을 얻게 된다. 다시 말해, $\displaystyle u^2+v^2<1$인 경우 곡선 $\displaystyle C$는 $\displaystyle P$와 만나지 않게 된다.

따라서 집합 $\displaystyle S$는 좌표평면 위에서 반지름이 $\displaystyle 1$이고 중심이 원점인 원이 되어, 곡선의 길이는 $\displaystyle 2\pi$이다.

[수학1-ⅱ]$\displaystyle uv=0$일 때 곡선 $\displaystyle C$는 선분이 되며, 이 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{F},\mathrm{F}^{\prime}$은 선분의 양 끝점이 된다. 이 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle 2>\sqrt2$이다.

$\displaystyle uv\ne0$을 가정하고, $\displaystyle u\ge v>0$을 가정하자. 이 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}$의 값은 <제시문2>에 의해 $\displaystyle 2\sqrt{u^2-v^2}$가 된다. 조건 $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=\sqrt2$로부터 $\displaystyle 2\sqrt{u^2-v^2}=\sqrt2$을 얻게 되고, [수학1-ⅰ]의 결과에 의해 $\displaystyle u^2+v^2=1$을 만족하므로 $\displaystyle (u,v)=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$를 의미한다. 그리고 $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=0$인 경우는 $\displaystyle u=v$인 경우이므로 $\displaystyle (u,v)=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$가 된다. Correction. $\displaystyle u\ge v>0$인 경우의 경계점 $\displaystyle (1/2,\sqrt3/2)$는 $\displaystyle (\sqrt3/2,1/2)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 점 $\displaystyle (u,v)$ 자취의 길이는 $\displaystyle \frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$이고, $\displaystyle v\ge u>0$인 경우 $\displaystyle u\ge v>0$에서와 같은 방법으로 $\displaystyle (u,v)=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$에서부터 $\displaystyle (u,v)=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$까지 해서 자취의 길이는 $\displaystyle \frac\pi{12}$가 되고 위와 같은 형태로 각 사분면 마다 한 번씩 나타나게 되므로 전체 곡선의 길이의 합은 $\displaystyle 8\times\frac\pi{12}=\frac{2\pi}3$이다.Correction. $\displaystyle v\ge u>0$인 경우의 경계점 $\displaystyle (\sqrt3/2,1/2)$는 $\displaystyle (1/2,\sqrt3/2)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.