자연계열 수학2

성균관대 2020학년도 모의 자연계열 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2020mo/jayeon_2

[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학2-ⅰ] ~ [수학2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>두 사건 $\displaystyle X,Y$ 가 일어나는 경우의 수가 각각 $\displaystyle x,y$ 이고 두 사건 $\displaystyle X,Y$ 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 $\displaystyle X$ 또는 사건 $\displaystyle Y$ 가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle x+y$ 이며, 이를 합의 법칙이라고 한다. 합의 법칙은 세 개 이상의 사건에 대하여도 성립한다.

<제시문2>사건 $\displaystyle X$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle x$ 이고, 그 각각의 경우에 대하여 사건 $\displaystyle Y$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle y$ 일 때, 두 사건 $\displaystyle X,Y$ 가 잇달아 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle x\times y$ 이며, 이를 곱의 법칙이라고 한다. 곱의 법칙은 세 개 이상의 사건에 대하여도 성립한다.

<제시문3>양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle n$ 까지의 숫자가 각각 적힌 $\displaystyle n$ 개의 공을 $\displaystyle A,B,C$ 라고 각각 적힌 세 개의 상자에 담으려고 할 때, 가능한 모든 경우의 수를 $\displaystyle S(n)$ 이라고 한다.

[수학2-ⅰ] <제시문3>에서 $\displaystyle n=7$ 일 때, $\displaystyle S(7)$ 의 값을 십진법 표기로 구하고, 그 이유를 논하시오. 예를 들어, $\displaystyle 2^7-2^4$ 는 $\displaystyle 112$ 로 표기한다.

[수학2-ⅱ] <제시문3>에서 $\displaystyle n=7$ 일 때, $\displaystyle A,B,C$ 세 개의 상자 모두 적어도 한 개의 공을 가지고 있을 경우의 수를 십진법 표기로 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅲ] <제시문3>에서 $\displaystyle n=7$ 일 때, $\displaystyle A,B,C$ 세 개의 상자 모두 적어도 두 개의 공을 가지고 있을 경우의 수를 십진법 표기로 구하고, 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

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+5점 · 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

[수학2-ⅰ]각각의 공이 $\displaystyle A,B,C$ 세 개의 상자에 들어갈 수 있으므로, <제시문2>에 의해 총 경우의 수는 $\displaystyle 3\times\cdots\times3=3^7=2187$ 이다.

+5점 · 한 개의 상자에 공이 하나도 들어있지 않고, 다른 두 상자에 각각 적어도 한 개의 공이 들어있을 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

[수학2-ⅱ]상자 $\displaystyle A$ 에 공이 하나도 들어있지 않고, 상자 $\displaystyle B,C$ 에 각각 적어도 한 개의 공이 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 2^7-2=126$ 이다.

+5점 · 한 개의 상자에만 공이 들어있는 경우의 수를 유도한 뒤, 문제의 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

상자 $\displaystyle A,B$ 에 공이 하나도 들어있지 않을 경우의 수는 $\displaystyle 1$ 이다.따라서 <제시문1>에 의해, 상자 $\displaystyle A,B,C$ 에 각각 적어도 한 개의 공이 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 3^7-3(2^7-2+1)=1806$ 이다.

+5점 · 한 개의 상자에 공이 한 개 들어있고, 나머지 두 상자에 각각 적어도 두 개의 공이 들어있을 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

[수학2-ⅲ]상자 $\displaystyle A$ 에 공이 한 개 들어있고, 상자 $\displaystyle B,C$ 에 각각 적어도 두 개의 공이 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 7(2^6-2\times6-2)=350$ 이다.

+5점 · 두 개의 상자에 각각 정확히 한 개의 공이 들어있을 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

상자 $\displaystyle A,B$ 에 각각 한 개의 공이 들어있고, 상자 $\displaystyle C$ 에 나머지 공이 모두 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 7\times6=42$ 이다.

+5점 · 문제의 경우의 수를 올바르게 유도할 수 있다.

상자 $\displaystyle A$ 에 공이 하나도 들어있지 않고, 상자 $\displaystyle B,C$ 에 각각 적어도 한 개의 공이 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 2^7-2=126$ 이다.

상자 $\displaystyle A,B$ 에 공이 하나도 들어있지 않을 경우의 수는 $\displaystyle 1$ 이다.

따라서 <제시문1>에 의해, 상자 $\displaystyle A,B,C$ 에 각각 적어도 두 개의 공이 들어있을 경우의 수는 $\displaystyle 2187-3(350+42+126+1)=630$ 이다.

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