자연계열 수학1

<제시문1>에 의하여$\displaystyle \mathrm{L}_{1}:\left(\frac{1\times3+2\times(-3)}{1+2},0\right)=(-1,0)\quad\mathrm{R}_{1}:\left(\frac{2\times3+1\times(-3)}{2+1},0\right)=(1,0)$따라서 타원 $\displaystyle E_{0}$의 방정식은$\displaystyle \frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}-1^{2}}=1$ 이다. 즉 $\displaystyle \frac{x^{2}}9+\frac{y^{2}}8=1.$

타원 $\displaystyle E_{n}$의 방정식을$\displaystyle \frac{x^{2}}{(a_{n})^{2}}+\frac{y^{2}}{(b_{n})^{2}}=1$　(1)이라 하자. 그러면 [수학1-ⅰ]의 결과로부터$\displaystyle a_{n}=\left(\frac13\right)^{n-1}$$\displaystyle b_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}-\left(\frac13a_{n}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt2}{3}a_{n}=\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac13\right)^{n-1}$임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle a_{n}b_{n}=\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac19\right)^{n-1}$　(2)

한편 (1)로부터 타원 $\displaystyle E_{n}$위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 1사분면 위에 있을 때 $\displaystyle y=b_{n}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a_{n}}\right)^{2}}$가 되므로, <제시문3>로 이용하면 타원 $\displaystyle E_{n}$의 1사분면 내부의 넓이는 $\displaystyle b_{n}\int_{0}^{a_{n}}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a_{n}}\right)^{2}}dx$가 됨을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle S_{n}=4b_{n}\int_{0}^{a_{n}}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a_{n}}\right)^{2}}dx$　이다.$\displaystyle \frac{x}{a_{n}}=\sin\theta$ 로 놓으면 $\displaystyle S_{n}$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{n}&=4b_{n}\int_{0}^{a_{n}}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a_{n}}\right)^{2}}dx=4a_{n}b_{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta\\&=4a_{n}b_{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta=\pi a_{n}b_{n}\end{aligned}$　(3)

따라서 (2), (3)으로 부터$\displaystyle S_{n}=\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac19\right)^{n-1}\pi$를 얻는다. 따라서$\displaystyle S_{0}=6\sqrt6\pi,\quad S_{1}=\frac{2\sqrt2}{3}\pi,\quad S_{2}=\frac{2\sqrt2}{27}\pi,\quad S_{3}=\frac{2\sqrt2}{243}\pi$Correction. $\displaystyle S_0=6\sqrt6\pi$는 $\displaystyle S_0=6\sqrt2\pi$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[수학1-ⅱ]의 결과로 부터$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}S_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac19\right)^{n-1}\pi=\frac{6\sqrt2}{1-\frac19}\pi=\frac{27\sqrt2}{4}\pi$