자연계열 수학2

직선 $\displaystyle \ell$의 기울기를 $\displaystyle m$이라 하면$\displaystyle \ell:y=m(x-1)$이를 원 $\displaystyle C$의 방정식 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$에 대입하고 정리하면$\displaystyle (m^{2}+1)x^{2}-2m^{2}x+m^{2}-4=0$　(1)을 얻는다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}\times\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}&=\{(a-1)^{2}+4-a^{2}\}\{(b-1)^{2}+4-b^{2}\}\\&=(5-2a)(5-2b)\\&=25-10(a+b)+4ab\end{aligned}$그런데 (1)과 근과 계수의 관계로 부터$\displaystyle a+b=\frac{2m^{2}}{m^{2}+1},\ ab=\frac{m^{2}-4}{m^{2}+1}$　(2)이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}\times\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}=25-10\frac{2m^{2}}{m^{2}+1}+4\frac{m^{2}-4}{m^{2}+1}=9$따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}\times\overline{\mathrm{PP}_{2}}=3$

$\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}\times\overline{\mathrm{PP}_{2}}=3$ 이므로 산술평균, 기하평균의 관계로부터$\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}+\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}\ge2\overline{\mathrm{PP}_{1}}\times\overline{\mathrm{PP}_{2}}=6$ 을 얻는다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}+\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}$의 최솟값은 6이다. (단, 등호는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}=\overline{\mathrm{PP}_{2}}=\sqrt3$ 일 때 성립한다.)이때 $\displaystyle a=b=1$이고 $\displaystyle \ell$이 $\displaystyle x$축에 수직일 때이다.

근과 계수의 관계 (2)로 부터$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}+\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}&=(a-1)^{2}+4-a^{2}+(b-1)^{2}+4-b^{2}\\&=10-2(a+b)\\&=\frac{6m^{2}+10}{m^{2}+1}\\&=6+\frac4{m^{2}+1}\end{aligned}$

$\displaystyle X=m^{2}$라 두면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_{1}}^{2}+\overline{\mathrm{PP}_{2}}^{2}=6+\frac4{X+1}$이 되고 이는 $\displaystyle X\ge0$에서 정의된 감소 함수이므로, $\displaystyle X=m=0$에서 최댓값 10을 가진다.