자연계열 수학1

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax+b$이고 함수 $\displaystyle f(x)$가 서로 다른 두 개의 극값을 가지므로, $\displaystyle a^{2}>3b$이다.또한, $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2a}{3}$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac{b}{3}$이다. $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}>\frac{-2}{9}$라고 하면,

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &=(\beta^{2}+\beta\alpha+\alpha^{2})+a(\beta+\alpha)+b \\ &=(\alpha+\beta)^{2}-\alpha\beta+a(\alpha+\beta)+b \\ &=\left(-\frac{2a}{3}\right)^{2}-\frac{b}{3}-\frac{2a^{2}}{3}+b>-\frac{2}{9} \end{aligned}$이다. 이를 정리하면, $\displaystyle b>\frac{a^{2}-1}{3}$이다. 즉, $\displaystyle 3b+1>a^{2}$이다.따라서, $\displaystyle 3b+1>a^{2}>3b$를 얻게 되고, 이를 만족하는 정수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 존재하지 않는다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax+b$이고 함수 $\displaystyle f(x)$가 서로 다른 두 개의 극값을 가지므로, $\displaystyle a^{2}>3b$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$가 $\displaystyle x$축과 만나지 않으므로, $\displaystyle f(\alpha)f(\beta)>0$이 성립한다. 여기서,$\displaystyle f(\alpha)f(\beta)=(\alpha^{3}+a\alpha^{2}+b\alpha)(\beta^{3}+a\beta^{2}+b\beta),\quad\alpha+\beta=-\frac{2a}{3},\ \alpha\beta=\frac{b}{3}$이므로, $\displaystyle f(\alpha)f(\beta)=\frac{b^{2}(4b-a^{2})}{27}>0$이다. 즉, $\displaystyle b>\frac{a^{2}}{4}$이다.

$\displaystyle a^{2}>3b$이므로 $\displaystyle \frac{a^{2}}{4}<b<\frac{a^{2}}{3}$이므로 $\displaystyle -5\le a\le5$, $\displaystyle -5\le b\le5$를 만족하는 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (-4,5),(4,5)$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax+b$이고 함수 $\displaystyle f(x)$가 서로 다른 두 개의 극값을 가지므로, $\displaystyle a^{2}>3b$이고 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2a}{3}$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac{b}{3}$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 삼등분 하는 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{2\alpha+\beta}{3}$과 $\displaystyle \frac{\alpha+2\beta}{3}$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$가 $\displaystyle y$축과 만나지 않기 위해서는 두 좌표값의 곱이 양수여야 한다.$\displaystyle \left(\frac{2\alpha+\beta}{3}\right)\left(\frac{\alpha+2\beta}{3}\right)=\frac{1}{9}(2\alpha^{2}+2\beta^{2}+5\alpha\beta)=\frac{1}{9}\left(2(\alpha+\beta)^{2}+\alpha\beta\right)=\frac{1}{9}\left(2\left(-\frac{2a}{3}\right)^{2}+\frac{b}{3}\right)>0$이고, $\displaystyle b>-\frac{8}{3}a^{2}$이다.

$\displaystyle a^{2}>3b$이므로 $\displaystyle -\frac{8}{3}a^{2}<b<\frac{a^{2}}{3}$이다. 이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는$\displaystyle a=1$일 때, $\displaystyle b=0,-1,-2$$\displaystyle a=2$일 때, $\displaystyle b=1,0,-1,-2,-3$$\displaystyle a=3$일 때, $\displaystyle b=2,1,0,-1,-2,-3$ 이다.따라서 가능한 모든 쌍의 개수는 $\displaystyle 2\times(3+5+6)=28$개다.