자연계열 수학2

곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프에서 $\displaystyle a\ge0$인 경우와 두 곡선 $\displaystyle f(x)=a|x|$와 $\displaystyle y=g(x)$가 접할 경우, 두 곡선의 교점이 3개가 된다. 그리고 두 곡선의 교점이 3개보다 많은 경우는 $\displaystyle a<0$와 두 곡선 $\displaystyle f(x)=a|x|$와 $\displaystyle y=g(x)$가 접할 경우의 $\displaystyle a$값 사이가 된다.곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (c,g(c))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=(4c^{3}-2c)(x-c)+(c^{4}-c^{2})$이고, 이 접선은 원점을 지나므로 $\displaystyle 0=-c(4c^{3}-2c)+(c^{4}-c^{2})$, 즉 $\displaystyle c^{2}(3c^{2}-1)=0$이다. 이로부터 $\displaystyle c=0,\frac{\sqrt{3}}{3}$이고 그 때 접선의 기울기 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 0,-\frac{2\sqrt{3}}{9}$이다.따라서, 두 곡선이 만나는 서로 다른 점의 개수가 3개보다 많기 위한 실수 $\displaystyle a$ 값의 범위는 $\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}<a<0$ 이다.

이 문항에서 함수 $\displaystyle f(x)=4x^{2}-\frac{1}{4}$이고, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle 4x+8y=1$이 만나는 두 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{1}{4},0\right),\left(-\frac{3}{8},\frac{5}{16}\right)$이다. 점 $\displaystyle (c,f(c))$에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac{1}{8c}(x-c)+\left(4c^{2}-\frac{1}{4}\right)$이고, 이로부터 $\displaystyle c$에 대한 삼차함수 $\displaystyle h(c)=32c^{3}-(8y+1)c-x$를 정의하자.점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에 대해 삼차방정식 $\displaystyle h(c)=0$은 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)$에서 해를 가져야 한다.이때, $\displaystyle h^{\prime}(c)=96c^{2}-(8y+1)$이다.만약, $\displaystyle 8y+1\le0$이라면 $\displaystyle h(c)$는 증가함수이므로, $\displaystyle h(c)=0$이 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)$에서 해를 갖기 위해선 $\displaystyle h(0)=-x<0$을 만족해야 한다. 그런데 $\displaystyle x<0$이므로, 모순이다.따라서, $\displaystyle 8y+1>0$이고 $\displaystyle k=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{8y+1}{6}}$에서 $\displaystyle h^{\prime}(k)=0$을 만족한다.점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle y$좌표값은 $\displaystyle \frac{5}{16}$ 이하이므로, $\displaystyle 0<k<\frac{1}{4}$가 성립한다. 따라서, $\displaystyle c=k$에서 함수 $\displaystyle h(c)$가 극솟값을 가지고 $\displaystyle h(0)=-x>0$이므로, $\displaystyle h(k)\le0$이 성립한다.

여기서, $\displaystyle h(k)=0$으로부터 식 $\displaystyle y=p(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{8}$을 얻을 수 있고, 문제에서 구하고자 하는 직선의 기울기의 최댓값은 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표 값이 다음의 식을 만족할 때 얻어진다.$\displaystyle 4x^{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}x^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{8}$

여기서, $\displaystyle t=x^{\frac{2}{3}}$이라고 치환하면, 삼차방정식$\displaystyle 32t^{3}-6t-1=0$을 얻게 되고, 이는 다시 $\displaystyle (4t+1)^{2}(2t-1)=0$로 분해되고 $\displaystyle t\ge0$이므로, $\displaystyle t=\frac{1}{2}$을 얻게 된다.즉, $\displaystyle x<0$이므로 $\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{4}$이고 $\displaystyle p\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{4}$이다.따라서, 문제의 기울기는 $\displaystyle \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\sqrt{2}$이다.

이 문항에서 함수 $\displaystyle f(x)=a|x|^{3}-\frac{1}{2}$이다. 점 $\displaystyle (c,g(c))$에서 그린 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=(4c^{3}-2c)(x-c)+(c^{4}-c^{2})$이고, 이 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나므로,$\displaystyle -2=-c(4c^{3}-2c)+c^{4}-c^{2}=-3c^{4}+c^{2}$가 성립한다. 이를 정리하면, $\displaystyle (3c^{2}+2)(c^{2}-1)=0$이므로 $\displaystyle c=\pm1$이다. 따라서 두 개의 접점의 좌표는 $\displaystyle (\pm1,0)$이다.

이 두 점과 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 동시에 지나는 원의 중심을 $\displaystyle (0,t)$라 하면, $\displaystyle t^{2}+1=(t+2)^{2}$가 성립하여 $\displaystyle t=-\frac{3}{4}$이고 원의 반지름은 $\displaystyle \frac{5}{4}$이다.

양의 실수 $\displaystyle e$에 대하여, 점 $\displaystyle (e,f(e))$에서 그린 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 방정식은$\displaystyle y=(3ae^{2})(x-e)+\left(ae^{3}-\frac{1}{2}\right)$이고, 이 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나므로, $\displaystyle -2=-3ae^{3}+ae^{3}-\frac{1}{2}$가 성립하고, $\displaystyle ae^{3}=\frac{3}{4}$를 얻는다.즉, $\displaystyle e=\sqrt[3]{\frac{3}{4a}}$이고, 이때 $\displaystyle f(e)=\frac{1}{4}$이다. 반지름을 비교하여 얻은 식$\displaystyle \left(\frac{5}{4}\right)^{2}=e^{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)^{2}=e^{2}+1$로부터 $\displaystyle e=\frac{3}{4}$을 얻게 되어, $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{3}{4a}}=\frac{3}{4}$, 즉 $\displaystyle a=\frac{16}{9}$이다.