자연계 1교시 수학1

$\displaystyle 2$이상인 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해$\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(n^{2}+n+1)-((n-1)^{2}+(n-1)+1)=2n$이고, $\displaystyle a_{1}=S_{1}=3$이다.

$\displaystyle 2$이상인 양의 정수 $\displaystyle k$에 대하여, 이 삼각형 배열의 제$\displaystyle k$번째 줄의 마지막 수는 수열의$\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$번째 항이므로, $\displaystyle k(k+1)$이다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합은$\displaystyle 3+\sum_{k=2}^{50}k(k+1)=1+\sum_{k=1}^{50}(k^{2}+k)=1+\frac{50\times51\times101}{6}+\frac{50\times51}{2}=44201$이다.

$\displaystyle k$가 짝수일 때, 제$\displaystyle k$번째 줄의 마지막 수는 수열의$\displaystyle 1+(1+2+\cdots+(k-1))=\frac{1}{2}(k^{2}-k+2)$번째 항이므로, $\displaystyle k^{2}-k+2$이다.

$\displaystyle k$가 $\displaystyle 2$이상인 홀수일 때, 제$\displaystyle k$번째 줄의 마지막 수는 수열의$\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$번째 항이므로, $\displaystyle k(k+1)$이다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합은$\displaystyle 3+\sum_{m=2}^{25}(2m-1)(2m)+\sum_{m=1}^{25}((2m)^{2}-(2m)+2)=1+\sum_{k=1}^{25}(8m^{2}-4m+2)$Correction. 합 기호 아래의 $\displaystyle k=1$은 $\displaystyle m=1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 이를 다시 정리하면,$\displaystyle 1+8\times\frac{25\times26\times51}{6}-4\times\frac{25\times26}{2}+2\times25=42951$이다.

$\displaystyle 2$이상인 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해$\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$이고, $\displaystyle a_{1}=S_{1}=2$이다. $\displaystyle k$가 짝수일 때, 제 $\displaystyle k$번째 줄의 마지막 수는 수열의$\displaystyle 1+(1+2+\cdots+(k-1))=\frac{1}{2}(k^{2}-k+2)$번째 항이므로, $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(k^{2}-k)}$이다.

$\displaystyle k$가 $\displaystyle 2$이상인 홀수일 때, 제$\displaystyle k$번째 줄의 마지막 수는 수열의$\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$번째 항이므로, $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(k^{2}+k-2)}$이다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 곱은$\displaystyle 2\times2^{\frac{1}{2}\sum_{m=2}^{25}((2m-1)^{2}+(2m-1)-2)}\times2^{\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{25}((2m)^{2}-(2m))}$이다. 이를 다시 정리하면, $\displaystyle 2^{N}$의 형태이고,$\displaystyle \begin{aligned} N &=1+\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{25}((2m-1)^{2}+(2m-1)-2+(2m)^{2}-2m)=1+\sum_{k=1}^{25}(4m^{2}-2m-1) \\ &=1+4\times\frac{25\times26\times51}{6}-2\times\frac{25\times26}{2}-25 \\ &=21426 \end{aligned}$Correction. 합 기호 아래의 $\displaystyle k=1$은 $\displaystyle m=1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서 문제의 곱은 $\displaystyle 2^{21426}$ 이다.