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자연계 1교시 수학1

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성균관대 2022학년도 수시 자연계 1교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2022su/jayeongyo1_1

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문제

[수학1]

<제시문1>첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 얻어진 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 그리고, 첫째항에 차례로 일정한 수를 곱하여 얻어진 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

<제시문2>자연수의 거듭제곱의 합은 다음의 등식으로 구할 수 있다.(ⅰ) 1+2+3+⋯+n=∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle 1+2+3+\cdots+n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}(ⅱ) 12+22+32+⋯+n2=∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

<제시문3>수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}을 오른쪽 그림과 같이 삼각형 모양으로, 가장 위 꼭짓점에서부터 출발하여 왼쪽에서 오른쪽으로, k\displaystyle k번째 줄에는 k\displaystyle k개씩 배열하자. 그리고 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, 이 수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라고 한다.

수열 a₁, a₂, … 을 삼각형 모양으로 배열한 그림. 첫 줄에 a₁, 둘째 줄에 a₂ a₃, 셋째 줄에 a₄ a₅ a₆ … 처럼 k번째 줄에 k개씩 놓인다.

[수학1-ⅰ] <제시문3>에서 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 Sn=n2+n+1\displaystyle S_{n}=n^{2}+n+1일 때, 삼각형의 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합을 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅱ] <제시문3>에서 수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}을 삼각형 모양으로 배열할 때, 짝수번째 줄의 배열은 역순으로 하자. 예를 들어, 두 번째 줄은 a2 a3\displaystyle a_{2}\,a_{3}이 아니라 a3 a2\displaystyle a_{3}\,a_{2}로 재배열하고, 네번째 줄은 a7 a8 a9 a10\displaystyle a_{7}\,a_{8}\,a_{9}\,a_{10}이 아니라 a10 a9 a8 a7\displaystyle a_{10}\,a_{9}\,a_{8}\,a_{7}로 재배열한다. [수학1-ⅰ]에서와 같이 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 Sn=n2+n+1\displaystyle S_{n}=n^{2}+n+1일 때, 삼각형의 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합을 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅲ] <제시문3>에서 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 Sn=2n\displaystyle S_{n}=2^{n}이고, 수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}을 삼각형 모양으로 배열할 때, [수학 1-ⅱ]에서와 같이 짝수번째 줄의 배열은 역순으로 하자. 이때 삼각형의 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 곱을 구하고, 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2022학년도 수시 자연계 1교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2022su/jayeongyo1_1

[수학1-ⅰ]

+3점 · a1=3\displaystyle a_{1}=3과 n≥2\displaystyle n\ge2일 때 an=2n\displaystyle a_{n}=2n 임을 보인다.

2\displaystyle 2이상인 양의 정수 n\displaystyle n에 대해an=Sn−Sn−1=(n2+n+1)−((n−1)2+(n−1)+1)=2n\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(n^{2}+n+1)-((n-1)^{2}+(n-1)+1)=2n이고, a1=S1=3\displaystyle a_{1}=S_{1}=3이다.

+3점 · n≥2\displaystyle n\ge2일 때, 제n\displaystyle n번째 줄의 마지막 수가 n(n+1)\displaystyle n(n+1)임을 보인다.

2\displaystyle 2이상인 양의 정수 k\displaystyle k에 대하여, 이 삼각형 배열의 제k\displaystyle k번째 줄의 마지막 수는 수열의1+2+⋯+k=k(k+1)2\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}번째 항이므로, k(k+1)\displaystyle k(k+1)이다.

+4점 · 3+∑n=250n(n+1)=44201\displaystyle 3+\sum_{n=2}^{50}n(n+1)=44201임을 보인다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합은3+∑k=250k(k+1)=1+∑k=150(k2+k)=1+50×51×1016+50×512=44201\displaystyle 3+\sum_{k=2}^{50}k(k+1)=1+\sum_{k=1}^{50}(k^{2}+k)=1+\frac{50\times51\times101}{6}+\frac{50\times51}{2}=44201이다.

[수학1-ⅱ]

+3점 · n\displaystyle n이 짝수일 때, 제n\displaystyle n번째 줄의 마지막 수가 n2−n+2\displaystyle n^{2}-n+2임을 보인다.

k\displaystyle k가 짝수일 때, 제k\displaystyle k번째 줄의 마지막 수는 수열의1+(1+2+⋯+(k−1))=12(k2−k+2)\displaystyle 1+(1+2+\cdots+(k-1))=\frac{1}{2}(k^{2}-k+2)번째 항이므로, k2−k+2\displaystyle k^{2}-k+2이다.

+3점 · n\displaystyle n이 2\displaystyle 2이상인 홀수일 때, 제n\displaystyle n번째 줄의 마지막 수가 n(n+1)\displaystyle n(n+1)임을 보인다.

k\displaystyle k가 2\displaystyle 2이상인 홀수일 때, 제k\displaystyle k번째 줄의 마지막 수는 수열의1+2+⋯+k=k(k+1)2\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}번째 항이므로, k(k+1)\displaystyle k(k+1)이다.

+4점 · 3+∑k=225(2k−1)(2k)+∑k=125((2k)2−(2k)+2)=42951\displaystyle 3+\sum_{k=2}^{25}(2k-1)(2k)+\sum_{k=1}^{25}((2k)^{2}-(2k)+2)=42951임을 보인다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 합은3+∑m=225(2m−1)(2m)+∑m=125((2m)2−(2m)+2)=1+∑k=125(8m2−4m+2)\displaystyle 3+\sum_{m=2}^{25}(2m-1)(2m)+\sum_{m=1}^{25}((2m)^{2}-(2m)+2)=1+\sum_{k=1}^{25}(8m^{2}-4m+2)Correction. 합 기호 아래의 k=1\displaystyle k=1은 m=1\displaystyle m=1의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 이를 다시 정리하면,1+8×25×26×516−4×25×262+2×25=42951\displaystyle 1+8\times\frac{25\times26\times51}{6}-4\times\frac{25\times26}{2}+2\times25=42951이다.

[수학1-ⅲ]

+3점 · n\displaystyle n이 짝수일 때, 제n\displaystyle n번째 줄의 마지막 수가 212(n2−n)\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(n^{2}-n)} 임을 보인다.

2\displaystyle 2이상인 양의 정수 n\displaystyle n에 대해an=Sn−Sn−1=2n−2n−1=2n−1\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}이고, a1=S1=2\displaystyle a_{1}=S_{1}=2이다. k\displaystyle k가 짝수일 때, 제 k\displaystyle k번째 줄의 마지막 수는 수열의1+(1+2+⋯+(k−1))=12(k2−k+2)\displaystyle 1+(1+2+\cdots+(k-1))=\frac{1}{2}(k^{2}-k+2)번째 항이므로, 212(k2−k)\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(k^{2}-k)}이다.

+3점 · n\displaystyle n이 2\displaystyle 2이상인 홀수일 때, n\displaystyle n번째 줄의 마지막 수가 212(n2+n−2)\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(n^{2}+n-2)} 임을 보인다.

k\displaystyle k가 2\displaystyle 2이상인 홀수일 때, 제k\displaystyle k번째 줄의 마지막 수는 수열의1+2+⋯+k=k(k+1)2\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}번째 항이므로, 212(k2+k−2)\displaystyle 2^{\frac{1}{2}(k^{2}+k-2)}이다.

+4점 · 2×212∑k=225((2k−1)2+(2k−1)−2)×212∑k=125((2k)2−(2k))=21426\displaystyle 2\times2^{\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{25}((2k-1)^{2}+(2k-1)-2)}\times2^{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{25}((2k)^{2}-(2k))}=21426임을 보인다.

Correction. 채점기준 마지막 식의 21426\displaystyle 21426은 곱의 값이 아니라 2\displaystyle 2의 지수다. 따라서 곱은 221426\displaystyle 2^{21426}으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 가장 위 꼭짓점에서부터 50번째 줄까지 각 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수들의 곱은2×212∑m=225((2m−1)2+(2m−1)−2)×212∑m=125((2m)2−(2m))\displaystyle 2\times2^{\frac{1}{2}\sum_{m=2}^{25}((2m-1)^{2}+(2m-1)-2)}\times2^{\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{25}((2m)^{2}-(2m))}이다. 이를 다시 정리하면, 2N\displaystyle 2^{N}의 형태이고,N=1+12∑m=125((2m−1)2+(2m−1)−2+(2m)2−2m)=1+∑k=125(4m2−2m−1)=1+4×25×26×516−2×25×262−25=21426\displaystyle \begin{aligned} N &=1+\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{25}((2m-1)^{2}+(2m-1)-2+(2m)^{2}-2m)=1+\sum_{k=1}^{25}(4m^{2}-2m-1) \\ &=1+4\times\frac{25\times26\times51}{6}-2\times\frac{25\times26}{2}-25 \\ &=21426 \end{aligned}Correction. 합 기호 아래의 k=1\displaystyle k=1은 m=1\displaystyle m=1의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서 문제의 곱은 221426\displaystyle 2^{21426} 이다.

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