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자연계 1교시 수학2

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성균관대 2022학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2022su/jayeongyo1_2

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문제

[수학2]

<제시문1>(ⅰ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 다음과 같이 정의하자.f(x)={−x2−x(x≤0)x2−x(x>0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^{2}-x & (x\le0) \\ x^{2}-x & (x>0)\end{cases}(ⅱ) 함수 g(x)\displaystyle g(x)를 다음과 같이 정의하자. g(0)=0\displaystyle g(0)=0이며, 0\displaystyle 0이 아닌 실수 b\displaystyle b에 대하여, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (b,f(b))\displaystyle (b,f(b))에서의 접선이 접점을 제외한 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 다시 만나는 점의 x\displaystyle x좌표를 g(b)\displaystyle g(b)로 한다.(ⅲ) 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 역함수로 정의하자.

<제시문2>(ⅰ) x0=1\displaystyle x_{0}=1로 놓고, 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, xn+1=h(xn)\displaystyle x_{n+1}=h(x_{n})으로 정의하자.Caution. 수열을 정의할 때는 초기항에서도 정의가 성립하는지 확인해야 한다: 제시문 2의 (ⅰ)에서 ‘양의 정수 n\displaystyle n’은 ‘음이 아닌 정수 n\displaystyle n’으로 써야 한다. n=0\displaystyle n=0을 포함해야 x1=h(x0)\displaystyle x_1=h(x_0)부터 수열이 정해진다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ⅱ) 음이 아닌 정수 n\displaystyle n에 대하여, yn=f(xn)\displaystyle y_{n}=f(x_{n})으로 정의하고, 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_{n}을 (xn,yn)\displaystyle (x_{n},y_{n})으로 놓자.(ⅲ) 음이 아닌 정수 n\displaystyle n에 대하여, 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_{n}과 점 Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}을 잇는 직선의 방정식을 y=Ln(x)\displaystyle y=L_{n}(x)로 놓자.(ⅳ) 음이 아닌 정수 n\displaystyle n에 대하여, 직선 y=Ln(x)\displaystyle y=L_{n}(x)와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 영역의 넓이를 An\displaystyle A_{n}이라고 하자.

[수학2-ⅰ] <제시문1>에서 정의된 두 함수 g(x)\displaystyle g(x)와 h(x)\displaystyle h(x)를 모두 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅱ] 음이 아닌 정수 m\displaystyle m에 대하여, <제시문2>에 주어진 함수 L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)와 L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 모든 계수를 α\displaystyle \alpha와 m\displaystyle m에 대한 식으로 표시하고, 그 이유를 논하시오. (단, α\displaystyle \alpha는 1−2\displaystyle 1-\sqrt{2}이다.)

[수학2-ⅲ] 음이 아닌 정수 m\displaystyle m에 대하여, <제시문2>에 주어진 A2m\displaystyle A_{2m}과 A2m+1\displaystyle A_{2m+1}을 모두 α\displaystyle \alpha와 m\displaystyle m에 대한 식으로 표시하고, 그 이유를 논하시오. (단, α\displaystyle \alpha는 1−2\displaystyle 1-\sqrt{2}이다.)

[수학2-ⅳ] 음이 아닌 정수 m\displaystyle m에 대하여, A2m+1A2m\displaystyle \frac{A_{2m+1}}{A_{2m}}의 값을 구하고, m\displaystyle m에 관계없이 항상 일정함을 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2022학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2022su/jayeongyo1_2

[수학2-ⅰ]

+3점 · g(x)=(−1−2)x\displaystyle g(x)=(-1-\sqrt{2})x 임을 구한다.

b\displaystyle b가 양수인 경우, (b,f(b))\displaystyle (b,f(b))에서의 접선의 방정식은 y=(2b−1)(x−b)+(b2−b)\displaystyle y=(2b-1)(x-b)+(b^{2}-b)가 되고, 이 식과 y=−x2−x\displaystyle y=-x^{2}-x를 연립하여 풀면, x=−b±2b\displaystyle x=-b\pm\sqrt{2}b를 얻는다. 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 정의에 따르면, b\displaystyle b가 양수일 때, g(b)\displaystyle g(b)는 음수이므로, g(b)=(−1−2)b\displaystyle g(b)=(-1-\sqrt{2})b를 얻는다.비슷한 방법으로, b\displaystyle b가 음수인 경우, (b,f(b))\displaystyle (b,f(b))에서의 접선의 방정식은 y=(−2b−1)(x−b)+(−b2−b)\displaystyle y=(-2b-1)(x-b)+(-b^{2}-b)가 되고, 이 식과 y=x2−x\displaystyle y=x^{2}-x를 연립하여 풀면, x=−b±2b\displaystyle x=-b\pm\sqrt{2}b를 얻는다. 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 정의에 따르면, b\displaystyle b가 음수일 때, g(b)\displaystyle g(b)는 양수이므로, g(b)=(−1−2)b\displaystyle g(b)=(-1-\sqrt{2})b를 얻는다.

+2점 · h(x)=(1−2)x\displaystyle h(x)=(1-\sqrt{2})x 임을 구한다.

따라서 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여, 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 g(x)=(−1−2)x\displaystyle g(x)=(-1-\sqrt{2})x가 되고, 역함수 h(x)\displaystyle h(x)는 h(x)=(1−2)x\displaystyle h(x)=(1-\sqrt{2})x와 같게 된다.답: g(x)=(−1−2)x\displaystyle g(x)=(-1-\sqrt{2})x, h(x)=(1−2)x\displaystyle h(x)=(1-\sqrt{2})x

[수학2-ⅱ]

문제에 주어진 상황을 그림으로 나타내면 아래와 같다.

곡선 y=f(x)와 직선 y=L₀(x), y=L₁(x)를 한 좌표평면에 그린 그림. 곡선 위의 점 P₀, P₁, P₂가 표시되어 있다.
+5점 · L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)의 일차항 계수: −2α2m+1−1\displaystyle -2\alpha^{2m+1}-1, L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)의 상수항: α4m+2\displaystyle \alpha^{4m+2}

x0=1\displaystyle x_{0}=1이고, 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, xn+1=h(xn)=(1−2)xn\displaystyle x_{n+1}=h(x_{n})=(1-\sqrt{2})x_{n}이므로, xn=(1−2)n\displaystyle x_{n}=(1-\sqrt{2})^{n}과 같게 된다. 직선 y=L2m(x)\displaystyle y=L_{2m}(x)는 점 P2m+1\displaystyle \mathrm{P}_{2m+1}을 접점으로 하는 접선의 식과 같다. 따라서 α=1−2\displaystyle \alpha=1-\sqrt{2}, b=x2m+1=α2m+1\displaystyle b=x_{2m+1}=\alpha^{2m+1}이라고 두면, L2m(x)=(−2b−1)x+b2=(−2α2m+1−1)x+α4m+2\displaystyle L_{2m}(x)=(-2b-1)x+b^{2}=(-2\alpha^{2m+1}-1)x+\alpha^{4m+2}이 된다.

+5점 · L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 일차항 계수: 2α2m+2−1\displaystyle 2\alpha^{2m+2}-1, L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 상수항: −α4m+4\displaystyle -\alpha^{4m+4}

한편, 직선 y=L2m+1(x)\displaystyle y=L_{2m+1}(x)는 점 P2m+2\displaystyle \mathrm{P}_{2m+2}를 접점으로 하는 접선의 식과 같게 되므로, c=x2m+2=α2m+2\displaystyle c=x_{2m+2}=\alpha^{2m+2}이라고 두면, L2m+1(x)=(2c−1)x−c2=(2α2m+2−1)x−α4m+4\displaystyle L_{2m+1}(x)=(2c-1)x-c^{2}=(2\alpha^{2m+2}-1)x-\alpha^{4m+4}이 된다.답: L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)의 일차항 계수: −2α2m+1−1\displaystyle -2\alpha^{2m+1}-1, L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)의 상수항: α4m+2\displaystyle \alpha^{4m+2},L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 일차항 계수: 2α2m+2−1\displaystyle 2\alpha^{2m+2}-1, L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 상수항: −α4m+4\displaystyle -\alpha^{4m+4}

[별해]점 Pn=(xn,yn)\displaystyle \mathrm{P}_{n}=(x_{n},y_{n})의 좌표는 n\displaystyle n이 짝수일 때와 홀수일 때, 각각 다음과 같이 α\displaystyle \alpha와 n\displaystyle n으로 표현가능.즉, xn=αn\displaystyle x_{n}=\alpha^{n}, yn={α2n−αn,n은 짝수−α2n−αn,n은 홀수\displaystyle y_{n}=\begin{cases}\alpha^{2n}-\alpha^{n}, & n\text{은 짝수} \\ -\alpha^{2n}-\alpha^{n}, & n\text{은 홀수}\end{cases}점 P2m\displaystyle \mathrm{P}_{2m}과 P2m+1\displaystyle \mathrm{P}_{2m+1}의 좌표를 위와 같이 구하여, 이를 이용하여 L2m(x)\displaystyle L_{2m}(x)의 계수들을 구한 경우에 해답으로 인정한다. 또한,점 P2m+1\displaystyle \mathrm{P}_{2m+1}과 P2m+2\displaystyle \mathrm{P}_{2m+2}의 좌표를 위와 같이 구하여, 이를 이용하여 L2m+1(x)\displaystyle L_{2m+1}(x)의 계수들을 구한 경우도 해답으로 인정한다. 예를 들어,L2m(x)=(y2m+1−y2mx2m+1−x2m)(x−x2m)+y2m,\displaystyle L_{2m}(x)=\left(\frac{y_{2m+1}-y_{2m}}{x_{2m+1}-x_{2m}}\right)(x-x_{2m})+y_{2m},L2m+1(x)=(y2m+2−y2m+1x2m+2−x2m+1)(x−x2m+1)+y2m+1\displaystyle L_{2m+1}(x)=\left(\frac{y_{2m+2}-y_{2m+1}}{x_{2m+2}-x_{2m+1}}\right)(x-x_{2m+1})+y_{2m+1}을 구한 후, 이 식의 계수들을 α\displaystyle \alpha와 m\displaystyle m으로 표현할 수 있음.(단, 좌표를 맞게 구해서 표기했는지 확인 필요)

[수학2-ⅲ]

+5점 · A2m=−23α6m+1\displaystyle A_{2m}=-\frac{2}{3}\alpha^{6m+1} 임을 보인다.

[수학2-ⅱ]의 풀이에서처럼 편의상 α=1−2\displaystyle \alpha=1-\sqrt{2}, b=x2m+1=α2m+1\displaystyle b=x_{2m+1}=\alpha^{2m+1}, c=x2m+2=α2m+2\displaystyle c=x_{2m+2}=\alpha^{2m+2}이라고 두자.A2m=∫x2m+1x2m(L2m(x)−f(x))dx=∫b0((−2b−1)x+b2−(−x2−x))dx+∫0b/α((−2b−1)x+b2−(x2−x))dx=∫b0(x2−2bx+b2)dx+∫0b/α(−x2−2bx+b2)dx=[x33−bx2+b2x]b0+[−x33−bx2+b2x]0b/α=−b33+(−b33α3−b3α2+b3α)=−(α3+1+3α−3α23α3)b3=−(2+5α+1+3α−3−6α3α3)α6m+3=−23α6m+1\displaystyle \begin{aligned} A_{2m} &=\int_{x_{2m+1}}^{x_{2m}}(L_{2m}(x)-f(x))dx=\int_{b}^{0}((-2b-1)x+b^{2}-(-x^{2}-x))dx+\int_{0}^{b/\alpha}((-2b-1)x+b^{2}-(x^{2}-x))dx \\ &=\int_{b}^{0}(x^{2}-2bx+b^{2})dx+\int_{0}^{b/\alpha}(-x^{2}-2bx+b^{2})dx=\Biggl[\frac{x^{3}}{3}-bx^{2}+b^{2}x\Biggr]_{b}^{0}+\Biggl[-\frac{x^{3}}{3}-bx^{2}+b^{2}x\Biggr]_{0}^{b/\alpha} \\ &=-\frac{b^{3}}{3}+\left(-\frac{b^{3}}{3\alpha^{3}}-\frac{b^{3}}{\alpha^{2}}+\frac{b^{3}}{\alpha}\right)=-\left(\frac{\alpha^{3}+1+3\alpha-3\alpha^{2}}{3\alpha^{3}}\right)b^{3}=-\left(\frac{2+5\alpha+1+3\alpha-3-6\alpha}{3\alpha^{3}}\right)\alpha^{6m+3} \\ &=-\frac{2}{3}\alpha^{6m+1} \end{aligned}이 되고,

+5점 · A2m+1=23α6m+4\displaystyle A_{2m+1}=\frac{2}{3}\alpha^{6m+4} 임을 보인다.

A2m+1=∫x2m+1x2m+2(f(x)−L2m+1(x))dx=∫0c((x2−x)−((2c−1)x−c2))dx+∫c/α0((−x2−x)−((2c−1)x−c2))dx=∫0c(x2−2cx+c2)dx+∫c/α0(−x2−2cx+c2)dx=[x33−cx2+c2x]0c+[−x33−cx2+c2x]c/α0=c33−(−c33α3−c3α2+c3α)=(α3+1+3α−3α23α3)c3=(2+5α+1+3α−3−6α3α3)α6m+6=23α6m+4\displaystyle \begin{aligned} A_{2m+1} &=\int_{x_{2m+1}}^{x_{2m+2}}(f(x)-L_{2m+1}(x))dx=\int_{0}^{c}((x^{2}-x)-((2c-1)x-c^{2}))dx+\int_{c/\alpha}^{0}((-x^{2}-x)-((2c-1)x-c^{2}))dx \\ &=\int_{0}^{c}(x^{2}-2cx+c^{2})dx+\int_{c/\alpha}^{0}(-x^{2}-2cx+c^{2})dx=\Biggl[\frac{x^{3}}{3}-cx^{2}+c^{2}x\Biggr]_{0}^{c}+\Biggl[-\frac{x^{3}}{3}-cx^{2}+c^{2}x\Biggr]_{c/\alpha}^{0} \\ &=\frac{c^{3}}{3}-\left(-\frac{c^{3}}{3\alpha^{3}}-\frac{c^{3}}{\alpha^{2}}+\frac{c^{3}}{\alpha}\right)=\left(\frac{\alpha^{3}+1+3\alpha-3\alpha^{2}}{3\alpha^{3}}\right)c^{3}=\left(\frac{2+5\alpha+1+3\alpha-3-6\alpha}{3\alpha^{3}}\right)\alpha^{6m+6} \\ &=\frac{2}{3}\alpha^{6m+4} \end{aligned}이 된다.답: A2m=−23α6m+1\displaystyle A_{2m}=-\frac{2}{3}\alpha^{6m+1}, A2m+1=23α6m+4\displaystyle A_{2m+1}=\frac{2}{3}\alpha^{6m+4} (단, α=1−2\displaystyle \alpha=1-\sqrt{2})

[수학2-ⅳ]

+5점 · A2m+1A2m=−α3=(2−1)3\displaystyle \frac{A_{2m+1}}{A_{2m}}=-\alpha^{3}=(\sqrt{2}-1)^{3} 임을 보인다.

[수학2-ⅲ]의 풀이에 있는 결과로부터,A2m+1A2m=−α3=(2−1)3\displaystyle \frac{A_{2m+1}}{A_{2m}}=-\alpha^{3}=(\sqrt{2}-1)^{3}이 되므로, m\displaystyle m에 상관없이 일정함을 알 수 있다.답: A2m+1A2m=−α3=(2−1)3\displaystyle \frac{A_{2m+1}}{A_{2m}}=-\alpha^{3}=(\sqrt{2}-1)^{3}

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