자연계열 1번

한 사람이 악수할 수 있는 최대 횟수는 자기 자신과 배우자를 제외한 $\displaystyle 18$번이고,최소는 $\displaystyle 0$번이다.집 주인을 제외한 $\displaystyle 19$명의 답이 모두 다르므로 악수한 횟수는 $\displaystyle 0$회부터 $\displaystyle 18$회까지 골고루 있음을 알 수 있다.

$\displaystyle 18$이라고 답한 사람을 $\displaystyle A$, $\displaystyle A$의 배우자를 $\displaystyle B$라 하면, $\displaystyle A$는 자기 자신과 $\displaystyle B$를 제외한 $\displaystyle 18$명 전원과 악수했다.따라서 $\displaystyle B$를 제외한 모든 사람은 적어도 한 번 악수했으므로, $\displaystyle 0$회라고 답한 사람이 $\displaystyle B$이다.이때 집 주인의 부인은 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$가 될 수 없다.

$\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 파티에서 빼면, 남은 $\displaystyle 18$명은 모두 $\displaystyle A$와 한 번 악수했고, $\displaystyle B$와는 악수하지 않았으므로, 각각의 악수 횟수가 정확히 $\displaystyle 1$회씩 줄어든다.그럼 집 주인을 제외한 $\displaystyle 17$명의 답은 $\displaystyle 0$회부터 $\displaystyle 16$회가 되어 여전히 모두 다르다.이는 집 주인 부부가 여덟 쌍을 초대한 것과 같은 상황이다.같은 과정을 반복하면 한 번에 한 쌍씩 빠지고, $\displaystyle 9$번 반복하면 집 주인의 부인만 남는다.따라서 집 주인의 부인이 악수한 횟수는 $\displaystyle 9$회이다.

일반적으로 $\displaystyle n$쌍을 초대하여 파티를 열면, 집 주인의 부인은 $\displaystyle n$회 악수를 한다.