자연계열 1번

(1) 정오로부터 지난 시간을 분으로 나타내고, 두 사람의 도착 시각을 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$라 하자.각 도착 시각은 $\displaystyle [0,60]$에서 서로 독립적으로 균등하게 정해진다고 본다.표본 공간은 한 변의 길이가 $\displaystyle 60$인 정사각형 $\displaystyle [0,60]^2$이고, 두 사람이 만날 조건은 $\displaystyle |x-y|\le10$이다.

만나지 못하는 영역은 두 직각변의 길이가 각각 $\displaystyle 50$인 직각이등변삼각형 두 개이다.따라서 두 사람이 만날 확률은$\displaystyle 1-\frac{2\cdot\frac12\cdot50^2}{60^2}=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.

(2) 연필의 중심과 방향은 각각 가능한 범위에서 서로 독립적으로 균등하게 정해진다고 본다.승강장을 시초선에 대하여 위아래로 반사해 붙여도, 걸치는 모양과 걸치지 않는 모양이 똑같이 늘어나므로 확률은 달라지지 않는다.위아래 대칭으로 중심이 한쪽에 있는 경우만 보고, 각도도 좌우 대칭으로 절반만 보자.연필 중심에서 시초선까지의 거리를 $\displaystyle r$, 시초선과 이루는 작은 각을 $\displaystyle \theta$라 하면, 줄인 표본 공간은$\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2,\quad0\le r\le D$이고 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi D}{2}$이다.연필 중심에서 한쪽 끝점까지 시초선에 수직인 방향의 거리가 $\displaystyle \frac L2\sin\theta$이므로, 가장자리에 걸치는 영역은 $\displaystyle r\le\frac L2\sin\theta$이다.

먼저 $\displaystyle L\le2D$이면 곡선 $\displaystyle r=\frac L2\sin\theta$가 표본 공간의 윗변 $\displaystyle r=D$를 넘지 않는다.따라서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{\int_0^{\pi/2}\frac L2\sin\theta\,d\theta}{\pi D/2}=\frac{L/2}{\pi D/2}=\frac L{\pi D}$.

(3) 세 사람도 정오부터 오후 $\displaystyle 1$시 사이에 서로 독립적으로 균등하게 도착하고, 각자 도착한 뒤 $\displaystyle 10$분 동안 기다린다고 하자.세 사람의 도착 시각을 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$라 하면 표본 공간은 $\displaystyle [0,60]^3$이고 부피는 $\displaystyle 60^3$이다.세 사람이 모두 함께 있을 조건은 가장 늦게 도착한 시각과 가장 먼저 도착한 시각의 차가 $\displaystyle 10$ 이하인 것, 즉$\displaystyle \max(x,y,z)-\min(x,y,z)\le10$이다.

먼저 $\displaystyle x$가 가장 이른 도착 시각인 경우를 생각하자.$\displaystyle 0\le x\le50$이면 나머지 두 사람은 각각 $\displaystyle [x,x+10]$에 도착해야 하므로, 해당 단면의 넓이는 $\displaystyle 10^2$이다.$\displaystyle 50<x\le60$이면 나머지 두 사람은 각각 $\displaystyle [x,60]$에 도착하면 되므로, 단면의 넓이는 $\displaystyle (60-x)^2$이다.가장 먼저 도착하는 사람은 세 명 중 누구라도 될 수 있고, 도착 시각이 같은 경계는 부피에 영향을 주지 않는다.따라서 세 사람이 만나는 영역의 부피를 $\displaystyle V$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}V&=3\int_0^{50}10^2\,dx\\&\quad+3\int_{50}^{60}(60-x)^2\,dx\\&=15000+1000=16000.\end{aligned}$구하는 확률은 $\displaystyle \frac{16000}{60^3}=\frac2{27}$.따라서 두 사람이 만날 확률 $\displaystyle \frac{11}{36}$보다 작아진다.