자연계열 1번

배점 비율 1번: 35%

서강대 2009학년도 수시 1차 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/sogang/2009su_1/jayeon_1

◆ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

[가] 우리는 대부분의 경우 사람들과 사회적 관계 속에서 일어나는 여러 가지 사건(현상)을 경험하며 살고 있다. 이러한 관계는 구성원 간의 약속을 통하여 만들어지곤 한다. 약속의 연속이 매일을 이룬다고 하여도 무방할 것이다. 다음에 제시되는 이야기는 흔히 우리가 경험하는 것인데, 이를 과학적으로 접근하여, 호기심을 가질 만한 수치를 얻고 그 의미를 찾아보기로 하자.진우와 서희는 친구 사이로서 서울의 서로 다른 지역에 거주한다. 일요일인 오늘 진우는 서희에게 전화하여 지하철 신촌역 근처에 있는 서점에 들러 미적분학 교재를 사기로 약속한다. 그들은 만남의 편리함 때문에 자주 이용하던 신촌역에서 만나기로 정한다.

[나] 두 사람은 정오부터 오후 $\displaystyle 1$ 시 사이에 신촌역 앞에서 만나 같이 서점에 가기로 하였다. 지하철 도착시각표를 모두 잘 알고 있는 그들은 기다리는 시간을 줄이기 위하여 먼저 도착한 사람이 도착한 직후부터 정확히 $\displaystyle 10$ 분만 기다린 후 서점으로 향하기로 정하였다. 서희는 약속장소인 신촌역으로 가기 위하여 집 근처 역에서 지하철을 기다리다가 아래 그림 Ⓐ와 같이 철로 변 승강장 가장자리에 걸쳐있는 연필 한 자루를 발견하였다.

승강장과 철로를 옆에서 본 그림. 승강장 가장자리(시초선)에 연필 ①②③이 각각 60도·135도·90도로 놓여 있고, 가장자리에 걸쳐 있는 것을 Ⓐ로 표시했다. 왼쪽에 승강장의 너비를 화살표로 나타냈다.

[다] 얼마 후 신촌역에서 만난 두 사람은 그들이 만날 수 있었다는 사실에 놀랐다. 왜냐하면 서로 $\displaystyle 10$ 분만 기다리기로 하였기 때문에 역에서 만날 가능성이 낮을 것이라고 생각하였기 때문이다. 두 사람은 그들이 실제로 만날 수 있을 확률을 계산해 보기로 하였다. 그들은 $\displaystyle x$ -축, $\displaystyle y$ -축을 진우, 서희가 각각 도착 가능한 시간 축으로 하는 표본 공간을 구성하고 둘이 만날 수 있는 경우를 생각해 보았다.

[라] 서희가 승강장의 연필 모양을 진우에게 자세히 설명하자, 두 사람은 모양 Ⓐ처럼 연필이 철로 변 승강장 가장자리에 걸쳐있을 가능성을 조사해 보기로 하였다. 이 경우 연필은 부피가 없는 길이 $\displaystyle L$ 인 단순 선분이라 하고, 승강장의 너비를 $\displaystyle D$ 라고 하고, 철로 변 승강장 가장자리 직선을 시초선으로 정하였다. ①, ②, ③의 예처럼, 연필의 중심으로부터 시초선까지의 거리와 연필과 시초선이 이루는 각으로 이루어진 좌표들을 표본 공간으로 고려하였다. 단 연필의 중심은 항상 승강장에 놓인다고 가정한다.

<문제 1: 35%, 글자 수 제한 없음>

1. [다]를 이용하여, 두 사람이 실제로 만날 수 있는 확률 값에 대하여 논술하라.

2. [라]를 이용하여 표본 공간을 구성하고, 연필이 승강장 가장자리에 걸쳐 있을 확률 값에 대하여 논술하라.Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: 문제에는 연필 길이 $\displaystyle L$ 과 승강장 너비 $\displaystyle D$ 의 대소관계가 주어지지 않았다. 풀이에서 사용하는 확률모형에서 확률을 $\displaystyle \frac{L}{\pi D}$ 로 계산할 수 있는 것은 $\displaystyle L\le2D$ 일 때이다. 이때에는 $\displaystyle r=\frac L2\sin\theta$ 의 그래프가 표본공간의 위쪽 경계 $\displaystyle r=D$ 를 넘지 않는다. $\displaystyle L>2D$ 이면 그래프 아래 영역 중 $\displaystyle r>D$ 인 부분은 표본공간 밖이므로 제외해야 한다. $\displaystyle \sin\alpha=2D/L$ 인 각에서 구간을 나누어, $\displaystyle 0\le\theta\le\alpha$ 에서는 곡선 아래 넓이를, $\displaystyle \alpha\le\theta\le\frac\pi2$ 에서는 높이가 $\displaystyle D$ 인 직사각형의 넓이를 계산한다.

3. 만약 제시문들의 내용을 서로 다른 곳에 살고 있는 세 친구의 만남으로 바꾸어 좀 더 일반적인 경우로 확장하면, 그들 모두가 역에서 만날 수 있는 확률 값이 어떻게 달라지는지 적절한 표본 공간을 사용하여 구체적으로 논술하라.

논술 기하학적 확률

논술 뷔퐁의 바늘 문제

관련 개념강의 준비중

서강대 2009학년도 수시 1차 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/sogang/2009su_1/jayeon_1

1단계 · 두 도착 시각의 표본 공간을 정하고, 만나는 조건을 두 시각의 차로 나타낸다.

(1) 정오로부터 지난 시간을 분으로 나타내고, 두 사람의 도착 시각을 각각 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 라 하자.각 도착 시각은 $\displaystyle [0,60]$ 에서 서로 독립적으로 균등하게 정해진다고 본다.표본 공간은 한 변의 길이가 $\displaystyle 60$ 인 정사각형 $\displaystyle [0,60]^2$ 이고, 두 사람이 만날 조건은 $\displaystyle |x-y|\le10$ 이다.

2단계 · 만나지 못하는 영역의 넓이를 이용하여 두 사람이 만날 확률을 구한다.

만나지 못하는 영역은 두 직각변의 길이가 각각 $\displaystyle 50$ 인 직각이등변삼각형 두 개이다.따라서 두 사람이 만날 확률은 $\displaystyle 1-\frac{2\cdot\frac12\cdot50^2}{60^2}=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$ .

3단계 · 연필 중심의 거리와 방향각으로 표본 공간을 구성하고, 대칭성을 이용하여 가장자리에 걸치는 영역을 나타낸다.

(2) 연필의 중심과 방향은 각각 가능한 범위에서 서로 독립적으로 균등하게 정해진다고 본다.승강장을 시초선에 대하여 위아래로 반사해 붙여도, 걸치는 모양과 걸치지 않는 모양이 똑같이 늘어나므로 확률은 달라지지 않는다.위아래 대칭으로 중심이 한쪽에 있는 경우만 보고, 각도도 좌우 대칭으로 절반만 보자.연필 중심에서 시초선까지의 거리를 $\displaystyle r$ , 시초선과 이루는 작은 각을 $\displaystyle \theta$ 라 하면, 줄인 표본 공간은 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2,\quad0\le r\le D$ 이고 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi D}{2}$ 이다.연필 중심에서 한쪽 끝점까지 시초선에 수직인 방향의 거리가 $\displaystyle \frac L2\sin\theta$ 이므로, 가장자리에 걸치는 영역은 $\displaystyle r\le\frac L2\sin\theta$ 이다.

4단계 · 연필 길이가 승강장 너비의 두 배 이하인 경우와 큰 경우를 나누어 확률을 구한다.

먼저 $\displaystyle L\le2D$ 이면 곡선 $\displaystyle r=\frac L2\sin\theta$ 가 표본 공간의 윗변 $\displaystyle r=D$ 를 넘지 않는다.따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{\int_0^{\pi/2}\frac L2\sin\theta\,d\theta}{\pi D/2}=\frac{L/2}{\pi D/2}=\frac L{\pi D}$ .

$\displaystyle L>2D$ 이면 곡선이 윗변 $\displaystyle r=D$ 와 만나는 각을 $\displaystyle \alpha$ 라 하자. $\displaystyle \sin\alpha=\frac{2D}{L}$ , $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$ 이고, $\displaystyle \alpha\le\theta\le\frac\pi2$ 에서는 중심이 어느 위치에 있어도 연필이 가장자리에 걸친다.걸치는 영역을 곡선 아래 부분과 직사각형으로 나누면, 각각의 넓이는 $\displaystyle \int_0^\alpha\frac L2\sin\theta\,d\theta=\frac L2(1-\cos\alpha)$ , $\displaystyle D\left(\frac\pi2-\alpha\right)$ 이다.이 두 넓이의 합을 $\displaystyle S$ 라 하면 구하는 확률은 $\displaystyle \begin{aligned}\frac S{\pi D/2}&=\frac L{\pi D}(1-\cos\alpha)+1-\frac{2\alpha}{\pi}\\&=1-\frac{2\alpha}{\pi}+\frac{L-\sqrt{L^2-4D^2}}{\pi D}.\end{aligned}$ 즉 연필의 길이가 승강장 너비의 두 배를 넘으면, 곡선 아래의 넓이를 그대로 쓰지 않고 표본 공간 안에 들어오는 부분만 계산한다.

5단계 · 세 도착 시각의 표본 공간을 정하고, 세 사람이 함께 만나는 조건을 나타낸다.

(3) 세 사람도 정오부터 오후 $\displaystyle 1$ 시 사이에 서로 독립적으로 균등하게 도착하고, 각자 도착한 뒤 $\displaystyle 10$ 분 동안 기다린다고 하자.세 사람의 도착 시각을 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z$ 라 하면 표본 공간은 $\displaystyle [0,60]^3$ 이고 부피는 $\displaystyle 60^3$ 이다.세 사람이 모두 함께 있을 조건은 가장 늦게 도착한 시각과 가장 먼저 도착한 시각의 차가 $\displaystyle 10$ 이하인 것, 즉 $\displaystyle \max(x,y,z)-\min(x,y,z)\le10$ 이다.

6단계 · 가장 먼저 도착한 시각을 기준으로 영역의 부피를 계산하여 세 사람이 만날 확률을 구한다.

먼저 $\displaystyle x$ 가 가장 이른 도착 시각인 경우를 생각하자. $\displaystyle 0\le x\le50$ 이면 나머지 두 사람은 각각 $\displaystyle [x,x+10]$ 에 도착해야 하므로, 해당 단면의 넓이는 $\displaystyle 10^2$ 이다. $\displaystyle 50<x\le60$ 이면 나머지 두 사람은 각각 $\displaystyle [x,60]$ 에 도착하면 되므로, 단면의 넓이는 $\displaystyle (60-x)^2$ 이다.가장 먼저 도착하는 사람은 세 명 중 누구라도 될 수 있고, 도착 시각이 같은 경계는 부피에 영향을 주지 않는다.따라서 세 사람이 만나는 영역의 부피를 $\displaystyle V$ 라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}V&=3\int_0^{50}10^2\,dx\\&\quad+3\int_{50}^{60}(60-x)^2\,dx\\&=15000+1000=16000.\end{aligned}$ 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{16000}{60^3}=\frac2{27}$ .따라서 두 사람이 만날 확률 $\displaystyle \frac{11}{36}$ 보다 작아진다.

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