논술 기하학적 확률

두 사람이 정오부터 오후 1시 사이에 같은 장소에 도착한다. 두 사람의 도착 시각은 서로 독립이며, 각각 이 한 시간 안에서 균등하게 정해진다. 먼저 도착한 사람은 10분 동안 기다린 뒤 상대가 오지 않으면 떠난다. 두 사람이 만날 확률을 구하여라.

정오부터 지난 시간을 분으로 나타내고, 두 사람의 도착 시각을 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$라 하면,표본공간은 한 변의 길이가 60인 정사각형 $\displaystyle 0\le x\le60$, $\displaystyle 0\le y\le60$이다.두 시각이 서로 독립이고 균등하게 정해지므로 확률은 넓이의 비와 같다.

두 사람이 만나려면 도착 시각의 차가 10분 이하여야 하므로$\displaystyle |x-y|\le10$이다. 즉, 그림에서 두 직선 $\displaystyle y=x+10$, $\displaystyle y=x-10$ 사이의 영역이다.그 밖의 영역은 직각변의 길이가 각각 50인 직각이등변삼각형 두 개이므로,구하는 확률은$\displaystyle 1-\frac{2\times\frac12\times50^2}{60^2}=\frac{11}{36}$이다.

길이가 1인 선분 위에서 두 점을 서로 독립적으로 균등하게 선택하고, 그 두 점에서 선분을 잘라 세 조각으로 나눈다. 세 조각을 변으로 하여 삼각형을 만들 수 있을 확률을 구하여라.

선분의 양 끝을 0과 1이라 하고, 두 절단점의 좌표를 왼쪽부터 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$라 하면,표본공간은 삼각형 $\displaystyle 0<x<y<1$이다.두 점을 선택한 순서만 바꾼 경우를 하나로 모은 것이므로 이 영역에서도 균등하게 분포하며,전체 넓이는 $\displaystyle \frac12$이다.

세 조각의 길이는 $\displaystyle x$, $\displaystyle y-x$, $\displaystyle 1-y$이고, 합은 1이다.가장 긴 조각이 나머지 두 조각의 합보다 짧아야 하므로,세 조각이 모두 $\displaystyle \frac12$보다 짧으면 된다.$\displaystyle x<\frac12,\qquad y-x<\frac12,\qquad1-y<\frac12$이를 정리하면$\displaystyle 0<x<\frac12,\qquad\frac12<y<x+\frac12$이다.

그림의 색칠한 영역은 직각변의 길이가 각각 $\displaystyle \frac12$인 직각이등변삼각형이므로,넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac12\times\frac12=\frac18$이다.따라서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{\frac18}{\frac12}=\frac14$이다. 경계는 넓이가 0이므로 포함 여부가 확률에 영향을 주지 않는다.