자연계열 1번

수(자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수)는 어떻게 만들어 졌을까? 앞에서 언급한 모든 수는 자연수로부터 만들 수 있으며, 이러한 이유로 19세기의 독일 수학자 레오폴드 크로네커는 자연수는 신이 만든 작품이며, 자연수 이외의 수는 인간이 만든 작품이라고 하였다. 자연수에는 덧셈, 곱셈, 순서가 있으며, 큰 자연수에서 작은 자연수를 빼는 연산이 있다. 자연수로부터 정수, 유리수, 실수, 복소수를 어떻게 만들 수 있는지 알아보자.

정수는 자연수로부터 만들 수 있다. 예를 들어, 음의 정수 $\displaystyle -2$를 $\displaystyle 3-5$와 같이 두 개의 자연수를 이용하여 나타내는 방법을 생각할 수 있다. 그러나 서로 다른 두 자연수에 대하여 작은 자연수에서 큰 자연수를 빼는 것은 정의되지 않기 때문에 자연수로부터 정수를 만들 때, 위와 같이 뺄셈을 사용하여 정수를 나타낼 수는 없다. 다른 방법으로, 정수를 자연수의 순서쌍으로 나타내기로 하자. 다시 말하면 $\displaystyle -2$를 $\displaystyle (3,5)$로 쓰는 방법을 생각하여, ⓐ정수 전체의 집합을 $\displaystyle \{(a,b):a,b\text{는 자연수}\}$로 정의하자. 이 경우 정수 $\displaystyle (3,5)$와 $\displaystyle (4,6)$은 같은 수가 되어야 하므로, 두 정수 $\displaystyle (a,b)$와 $\displaystyle (c,d)$에 대하여 $\displaystyle a+d=b+c$일 때 두 정수 $\displaystyle (a,b)$와 $\displaystyle (c,d)$가 같다고 하자. 이와 같이 정의된 정수의 집합에 덧셈과 곱셈을 정의할 수 있으며, 덧셈에 대한 항등원과 역원, 그리고 곱셈에 대한 항등원이 존재하며, 정수에서의 뺄셈은 덧셈에 대한 역원을 이용하여 정의된다.

정수를 자연수로부터 얻을 수 있기 때문에 유리수도 자연수로부터 얻을 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle -\frac25=\frac{3-5}5$와 같이 유리수는 세 개의 자연수를 이용하여 쓸 수 있다. 이제 $\displaystyle -\frac25$를 자연수 세 개의 순서쌍 $\displaystyle (3,5,5)$로 쓴다면, 유리수 전체의 집합을 $\displaystyle \{(a,b,c):a,b,c\text{는 자연수}\}$와 같이 정의할 수 있다. 이제 유리수 집합에 사칙연산을 정의한 후, 유리수 $\displaystyle (a,b,c)$를 분수 $\displaystyle \frac{a-b}c$라고 보자.

다음은 유리수로부터 실수를 만들기 위하여 무한수열을 생각하자. 다음의 예를 보자. 무리수 $\displaystyle \pi=3.1415926535897932385\cdots$에 대하여 $\displaystyle b_1=3$, $\displaystyle b_2=3.1$, $\displaystyle b_3=3.14$, $\displaystyle b_4=3.141$, $\displaystyle \cdots$이라 하면 각 $\displaystyle b_n$은 유리수이며, 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 $\displaystyle \pi$로 수렴하며, 유리수를 이용하여 무리수 $\displaystyle \pi$를 정의할 수 있다. 이와 같이 ⓑ실수 전체의 집합을 $\displaystyle \{\lim_{n\to\infty}a_n:a_n\text{은 유리수이며 }\lim_{n\to\infty}a_n\text{은 존재한다}\}$로 정의하자. 이렇게 정의된 실수 집합에는 사칙연산이 잘 정의되며, 또한 $\displaystyle 0$보다 큰 두 실수의 합은 $\displaystyle 0$보다 크다.

방정식 $\displaystyle x^2=-1$의 한 근을 $\displaystyle i=\sqrt{-1}$이라 하고, $\displaystyle a+bi$($\displaystyle a,b$는 실수)를 다 모으면 복소수 전체의 집합이 된다. 실수와 복소수의 큰 차이 중 하나는 실수에는 순서가 있으며, 복소수에는 순서가 없다는 것이다. 이와 같이 위에서 언급한 모든 수는 자연수로부터 얻을 수 있다.

다음 물음에 답하라.

1. ⓐ에서 정의된 정수의 집합에는 같은 원소가 무한히 많다. 집합 내에 같은 원소가 없도록 자연수를 이용하여 정수의 집합을 나타내어라.

2. ⓐ에서 정의된 정수의 집합에 대하여 두 정수의 덧셈과 곱셈을 자연수의 덧셈과 곱셈을 이용하여 정의하고, 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구하여라.

3. 정수 $\displaystyle (a,b)$의 덧셈에 대한 역원을 구하고, 정수 $\displaystyle (a,b)$와 $\displaystyle (c,d)$에 대하여 방정식 $\displaystyle (a,b)+(x,y)=(c,d)$의 해 $\displaystyle (x,y)$를 구하여라.

4. 유리수 전체의 집합이 ⓑ에서 정의된 실수 전체의 집합의 부분 집합임을 보여라.

5. 실수에서의 순서 $\displaystyle \ge$를 정의하자. $\displaystyle P$를 $\displaystyle 0$보다 크거나 같은 실수의 집합이라 할 때, 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle a-b\in P$이면 $\displaystyle a\ge b$라 정의하자. 이때 $\displaystyle a\ge b$이고 $\displaystyle b\ge c$이면 $\displaystyle a\ge c$임을 보여라.