자연계열 1번

1. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \{(a,n):a\text{는 }a\ge n\text{인 자연수}\}\cup\{(n,a):a\text{는 }a>n\text{인 자연수}\}$라 하자. 자연수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle (a,n)=(n,b)$라 하면 $\displaystyle a+b=2n$이고 $\displaystyle a+b>2n$이므로 모순이다. 따라서 위의 집합에 같은 원소는 없다.

2. 덧셈 정의:$\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$이어야 하므로$\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$로 정의해야 한다.

곱셈 정의:$\displaystyle (a,b)\cdot(c,d)=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$이어야 하므로$\displaystyle (a,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,ad+bc)$로 정의해야 한다.

자연수 $\displaystyle d$에 대하여 $\displaystyle (a,b)+(d,d)=(a+d,b+d)=(a,b)$이므로덧셈에 대한 항등원은 $\displaystyle (d,d)$이다.$\displaystyle (a,b)\cdot(d+1,d)=(ad+a+bd,ad+bd+b)=(a,b)$이므로곱셈에 대한 항등원은 $\displaystyle (d+1,d)$이다.

3. $\displaystyle (a,b)+(b,a)=(a+b,a+b)$이고 $\displaystyle (a+b,a+b)$는 항등원이므로$\displaystyle (a,b)$의 역원은 $\displaystyle (b,a)$이다.양변에 $\displaystyle (a,b)$의 역원을 더하면 $\displaystyle (x,y)=(c,d)+(b,a)=(c+b,d+a)$또는 $\displaystyle (a,b)+(c+b,d+a)=(a+b+c,a+b+d)=(c,d)$따라서 $\displaystyle (x,y)=(c+b,d+a)$이다.

4. $\displaystyle a$를 유리수라 하자. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=a$이라 하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$이다. 따라서 $\displaystyle a$는 실수이고 유리수 전체의 집합은 실수 전체의 집합의 부분집합이다.

5. 집합 $\displaystyle P$는 덧셈에 관하여 닫혀 있다.$\displaystyle a,b\in P$라 하자. $\displaystyle a\ne0,b\ne0$인 경우 지문의 내용에 의하여 $\displaystyle a+b\in P$이다. $\displaystyle a=0,b\ne0$인 경우, $\displaystyle a+b=b\in P$, $\displaystyle a\ne0,b=0$인 경우, $\displaystyle a+b=a\in P$, $\displaystyle a=0,b=0$인 경우 $\displaystyle a+b=0\in P$이므로 집합 $\displaystyle P$는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.

$\displaystyle a\ge b$이고 $\displaystyle b\ge c$이므로 $\displaystyle a-b\in P$, $\displaystyle b-c\in P$이다. 집합 $\displaystyle P$는 덧셈에 대하여 닫혀 있으므로 $\displaystyle a-c=(a-b)+(b-c)\in P$이고 $\displaystyle a\ge c$이다.

[해설]

자연수로부터 실수를 만드는 과정을 통하여 논리적인 사고를 묻거나, 자연수로부터 정수를 만드는 과정에서 자연스럽게 정의되는 연산을 정의하고 그에 관한 항등원, 역원을 찾고, 이를 유리수 정수로 확장하여 실수에서의 성질과 유리수, 실수를 이해하는 문제 등을 출제했다.