자연계열 2번

어제 한 친구가 나에게 묻고 싶은 것이 있다면서 찾아왔다. 바둑을 기본으로 한 ‘바투’라고 불리는 온라인 게임의 2009년도 챔피언 결정전이 사흘 후에 서강 e스포츠 스타디움에서 열리는데, 각 선수의 기록을 바탕으로 우승자를 수학적으로 예측하는 방법을 나에게 묻기 위하여 찾아온 것이다. 결승전은 5전 3선승제로 치뤄지는데, 결승에 진출한 두 선수는 현직 프로 바둑기사 홍길동과 이수일이다. 바투 대회는 작년부터 열렸고, 수많은 경기가 치뤄진 가운데 결승에 진출한 두 선수의 지난 1년 동안의 총 전적은 홍길동 선수가 160승 90패로 승률 $\displaystyle \frac{160}{160+90}=0.64$ 또는 64%의 기록을 갖고 있으며, 이수일 선수는 284승 71패로 승률 $\displaystyle \frac{284}{284+71}=0.80$ 또는 80%를 기록하고 있다. 친구가 궁금해한 것은 이렇듯 승률 64%인 선수와 승률 80%인 선수가 5전 3선승제에서 맞붙었을 때, 두 선수가 우승할 확률이 각각 어떻게 되는가에 대해서였고, 내가 수학에 관심이 많으니까 유사한 종류의 수학 문제에 익숙하리라 짐작했다. 하지만 나는 친구에게 이런 유형의 질문은 정답을 구해야하는 수학 문제로는 적합하지 않은데, 그 이유는 두 선수가 여태껏 경기해온 상대방에 대한 정보도 부족하고, 현재까지의 승률이 64%라 하더라도 그 이후 경기는 컨디션에 따라 그리고 상대 선수의 스타일에 따라 승률 64%가 암시하는 것과 확연히 다른 실력을 발휘하는 경우가 비일비재하기 때문이라고 설명했다.

동전을 던질 때 앞면이 나올 확률, 윷놀이를 할 때 ‘걸’이 나올 확률은 매번 같다고 봐도 되지만 지금까지 64%의 승률을 거둔 선수가 앞으로도 64%의 승률을 이어갈 것이라고는 보장할 수 없다. 그런 이유로 나는 친구의 질문에 대한 엄밀한 정답은 존재하지 않지만, 추가로 몇 가지 가정을 첨부한다면 각 선수가 우승할 확률을 추정하는 것은 가능하다고 답변했다. 각 선수의 우승 확률을 추정하기 위해 친구와 내가 추가한 것은 두 선수의 승률 64%와 80%는 각각 홍길동 선수와 이수일 선수의 정확한 실력을 반영하고 결승 5전3선승제를 치루는 동안 그 실력은 변하지 않는다는 가정이다. 친구는 두 선수의 고정된 승률이 각각 64%와 80%인 가정 아래라면 자신도 홍길동 선수와 이수일 선수가 서로 한번 맞붙었을 때 각 선수가 승리할 확률을 구할 수 있다면서 홍길동 선수가 이길 확률은 $\displaystyle \frac{64}{64+80}=0.44$ 또는 44%, 이수일 선수가 이길 확률은 $\displaystyle \frac{80}{64+80}=0.56$ 또는 56%라고 보면 될 것 같다고 했다. 나는 친구의 방법이 옳지 않은 이유를 설명한 후에 홍길동 선수가 이수일 선수를 이기고 우승할 확률이 얼마인가를 나의 방식으로 말해줄 수 있었다.

다음 물음에 답하라.

1. 홍길동 선수가 승률 50%인 선수와 한 번 맞붙는다고 할 때, 이길 확률을 64%로 추정하는 것이 합리적인 이유를 설명하여라.

2. 위의 1번 문항을 이용하여 친구의 확률 계산 방법이 옳지 않은 이유를 설명하여라.

3. 홍길동 선수와 이수일 선수가 서로 맞붙지 않고 각각 다른 선수와 대결했을 때, 홍길동 선수가 승리하고 이수일 선수는 패하는 결과가 나올 확률은 몇 퍼센트라고 추정해야 적합할까? 반대로 홍길동 선수는 패배하고 이수일 선수가 승리하는 결과가 나올 확률은 얼마라고 추정해야 적합할까?

4. 위의 3번 문항의 답을 이용하여 홍길동 선수가 이수일 선수와 직접 한 번 맞붙었을 때, 홍길동 선수가 이길 확률을 추정하여라.

5. 위의 4번 문항에 대한 답이 $\displaystyle a$라고 가정할 때, 홍길동 선수가 5전 3선승제에서 이수일 선수를 이기고 우승할 확률을 $\displaystyle a$를 사용하여 나타내어라.