자연계열 2번

1. 홍길동 선수는 (자신을 제외한) 전체를 상대로 64%의 승률을 올렸고, 전체의 승률은 50%이므로 홍길동 선수가 승률 50%인 선수를 상대했을 때 승리할 확률은 약 64%이라고 추정하는 것이 합리적이다.

2. 친구의 방식대로 계산하면 홍길동 선수가 승률 50%인 선수와 맞붙었을 때의 승리 확률은 $\displaystyle \frac{64}{64+50}=0.56$또는 56%에 지나지 않는다. 하지만 홍길동 선수의 전체 승률은 64%이고 따라서 홍길동 선수가 승률 50%인 선수와 맞붙었을 때 이길 확률의 추정값은 약 64%가 되어야 하는 것에 어긋난다. 따라서 친구의 확률계산 방법은 옳지 않다.

3. 각각 다른 선수와 대결했을 때 홍길동 선수는 승리하는 사건과 이수일 선수는 패하는 사건은 서로에게 영향을 미치지 않으므로, 홍길동 선수는 승리하고 이수일 선수는 패하는 결과가 나올 가능성은 $\displaystyle 0.64\times0.20=0.128$ 즉 12.8%로 추정하는 것이 적합하다. 마찬가지로 홍길동 선수는 패배하고 이수일 선수는 승리하는 결과가 나올 가능성은 $\displaystyle 0.36\times0.80=0.288$ 즉 28.8%로 추정된다.

4. 두 선수가 각각 다른 선수와 대결했을 때 ‘홍길동 선수는 승리하고 이수일 선수는 패하는 사건’을 $\displaystyle A$라 하고 ‘홍길동 선수는 패배하고 이수일 선수는 승리하는 사건’을 $\displaystyle B$라 하자. 이 문제는 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$만으로 구성된 새로운 표본공간 $\displaystyle \{A,B\}$에서 사건 $\displaystyle A$가 발생할 확률을 구하는 문제와 일치한다. 문항 3에서 계산된 두 선수가 각각 다른 선수와 대결했을 때 홍길동 선수는 승리하고 이수일 선수는 패하는 결과가 나올 가능성의 추정값은 $\displaystyle 0.64\times0.20=0.128$ 그리고 홍길동 선수는 패배하고 이수일 선수는 승리하는 결과가 나올 가능성의 추정값은 $\displaystyle 0.36\times0.80=0.288$이므로 이수일과 홍길동의 승부에서 홍길동이 이길 확률은 $\displaystyle P(A)=\frac{0.128}{0.128+0.288}=\frac{128}{416}\fallingdotseq0.308$ 또는 30.8%이다.

5. 홍길동 선수가 5전 3선승제에서 이수일 선수를 이기고 우승하는 경우는 전승으로 우승하거나, 3승 1패로 우승하거나, 3승 2패로 우승하는 경우 중 하나이다.홍길동 선수가 3전 전승할 확률은 $\displaystyle a\times a\times a=a^3$홍길동 선수가 3승 1패할 확률은 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{1}\times a^3\times(1-a)=3a^3(1-a)$홍길동 선수가 3승 2패할 확률은 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times a^3\times(1-a)^2=6a^3(1-a)^2$그러므로 홍길동의 우승 확률은 $\displaystyle a^3+3a^3(1-a)+6a^3(1-a)^2=a^3(6a^2-15a+10)$이다.

[해설]

일상생활에서 빈번히 일어나는 현상의 결과에 대한 수리적 예측과 설명 방법을 묻는 문제를 출제했다. 어느 시점까지의 특정한 승률을 기록해 온 두 선수들이 서로 맞붙게 되었을 때 나오게 되는 결과를 합리적으로 추정하는 문제이다.