자연계열 1번

문제1.$\displaystyle a_n>0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac1x+\frac{a_{n-2}}{a_n}\frac1{x^2}+\cdots+\frac{a_1}{a_n}\frac1{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)=\infty$이고,Correction. 괄호 안의 마지막 항 $\displaystyle a_0/x^n$은 $\displaystyle a_0/(a_nx^n)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n$이 짝수이므로 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac1x+\frac{a_{n-2}}{a_n}\frac1{x^2}+\cdots+\frac{a_1}{a_n}\frac1{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)=\infty$Correction. 괄호 안의 마지막 항 $\displaystyle a_0/x^n$은 $\displaystyle a_0/(a_nx^n)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

문제2.$\displaystyle a_n<0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$이며, 따라서 $\displaystyle a_n>0$이다. $\displaystyle n$이 홀수이면 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$이다.따라서 $\displaystyle a_n>0$이고 $\displaystyle n$은 짝수이다.

문제3.지문에서 실수 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle M>0$, 집합 $\displaystyle (-\infty,-M]\cup[M,\infty)$내의 점 $\displaystyle a$가 존재하여 $\displaystyle x\ge M$ 또는 $\displaystyle x\le-M$이면 $\displaystyle f(x)\ge\alpha=f(a)$이다. $\displaystyle f$는 $\displaystyle [-M,M]$에서 연속이므로 $\displaystyle f$는 최솟값 $\displaystyle f(x_1)$를 갖는다.즉 $\displaystyle f(a)$는 $\displaystyle (-\infty,-M]\cup[M,\infty)$에서의 최솟값이며 $\displaystyle f(x_1)$는 집합 $\displaystyle [-M,M]$에서 최솟값이다.$\displaystyle f(a)\le f(x_1)$이면 $\displaystyle x_0=a$, $\displaystyle f(a)\ge f(x_1)$이면 $\displaystyle x_0=x_1$이라 하면 $\displaystyle f$는 $\displaystyle \mathbb R$에서 최솟값 $\displaystyle f(x_0)$를 갖는다.

문제4.$\displaystyle g(x)$의 최고차항은 $\displaystyle a_nx^n$이다. $\displaystyle a_n>0$이고 $\displaystyle n$이 짝수이므로 문제 3에 의하여 $\displaystyle g$는 최솟값을 갖는다.

문제5.$\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(n)}(x)+f^{(n+1)}(x)$이고 $\displaystyle f$는 $\displaystyle n$차 다항식이므로 $\displaystyle f^{(n+1)}(x)=0$. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(n)}(x)=g(x)-f(x)$이다.

문제6.$\displaystyle g$가 $\displaystyle b$에서 최솟값을 갖는다고 하고 $\displaystyle g(b)\le0$이라 하자. $\displaystyle b$는 구간 $\displaystyle [b-1,b+1]$내의 점이며 $\displaystyle g$는 구간에서 연속이므로 $\displaystyle g^{\prime}(b)=0$이다. 그러나 $\displaystyle f(b)>0$이고 $\displaystyle g(b)\le0$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(b)=g(b)-f(b)<0$이므로 모순이다. 따라서 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)>0$이다.