자연계열 1번

함수의 극한이라는 것은 그 점에서의 값과는 관계가 없고, 그 점 주위에서의 값이 어떻게 변하는 가를 나타내는 것이다. 예를 들어 함수 $\displaystyle y=g(x)$에 대하여 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle a$가 실수인 경우 $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\alpha$라 함은 $\displaystyle x$가 점 $\displaystyle a$에 가까이 갈 때 함수 $\displaystyle g$의 값이 $\displaystyle \alpha$에 가까이 간다는 것이며 $\displaystyle g$의 점 $\displaystyle a$에서의 값과는 관계가 없다. 그런데 $\displaystyle \alpha$가 실수가 아닌 경우, 예를 들어 $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac1x=\infty$을 생각하자. 이 경우 0보다 큰 $\displaystyle x$가 0에 가까이 갈 때 $\displaystyle \infty$에 가까이 간다고 할 수는 없다. $\displaystyle \infty$는 수가 아닌 기호인 것이다. 다시말하면 $\displaystyle \infty$는 모든 실수보다 큰 것을 나타내는 기호이다. 그러면 $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac1x=\infty$을 어떻게 해석할 것인가 하는 문제가 있다. 이것의 의미는 0보다 큰 $\displaystyle x$가 0에 아주 가까이 갈 때 함수값이 아주 커진다는 것이며, 이를 수학적으로 해석하면 ‘임의의 양의 실수 $\displaystyle M$에 대하여 0의 근방이 존재하여 $\displaystyle x$가 0보다 크며 그 근방에 있을 때 함수의 값이 $\displaystyle M$보다 크다’ 라고 해석한다.

위의 경우는 $\displaystyle x$가 특정한 실수에 가까이 갈 때 함수의 변화에 관한 것이다. 그러면 $\displaystyle x$가 아주 커질 때 또는 아주 작아질 때 함수의 값이 어떻게 변화하는 지를 생각할 수 있다. 함수 $\displaystyle y=h(x)$에 대하여 이는 수학적으로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)$, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h(x)$로 쓴다. 그러면 $\displaystyle \beta$가 실수인 경우 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\beta$라 하는 것이 무슨 의미인지를 생각해 보자. 앞의 경우는 $\displaystyle x$가 특정한 값 $\displaystyle a$에 가까이 갈 때의 변화인 것처럼 ‘$\displaystyle x$가 $\displaystyle \infty$에 가까일 갈 때 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle \beta$에 가까이 간다’ 라고 할 수는 없다. 그 이유는 앞에서 설명한 것처럼 $\displaystyle \infty$는 수가 아니기 때문이다. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\beta$는 수학적으로 설명하면 다음과 같다. $\displaystyle \beta$의 근방을 임의로 택할 때 실수 $\displaystyle M$이 존재하여 $\displaystyle x$가 $\displaystyle M$보다 크면 $\displaystyle h(x)$가 앞에서 택한 $\displaystyle \beta$의 근방에 들어간다는 것이다. 다음은 $\displaystyle \beta$가 실수가 아닌 경우는 무슨 의미인지를 생각해 볼 필요가 있다. 다시말하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty$를 생각하자. 이는 $\displaystyle x$가 아주 크면 $\displaystyle h(x)$의 값이 아주 크다는 의미이다. 이를 수학적으로 쓰면 ‘임의의 양의 실수 $\displaystyle M$에 대하여 실수 $\displaystyle N$이 존재하여 $\displaystyle x$가 $\displaystyle N$보다 크면 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle M$보다 크다’는 것이다. 여기서 $\displaystyle M$과 $\displaystyle N$을 아주 큰 수라 생각하면 앞의 생각과 일치가 된다.

미분가능한 함수의 대표적인 예로 다항함수를 생각하자. 다항함수에서 변수가 아주 커질 때 또는 아주 작아질 때 다항함수가 어떻게 변하는 지는 다항함수의 최고차항에 의하여 결정된다. 변수가 아주 작아질 때 최고차항의 지수가 짝수인 경우와 홀수인 경우 다르며, 또한 최고차항의 계수가 양수인가 음수인가에 따라 다르다. 예를 들어 최고차항의 지수가 홀수이고 최고차항의 계수가 음수이면 변수가 아주 작아질 때 함수의 값은 아주 커지며, 최고차항의 지수가 홀수이고 최고차항의 계수가 양수이면 변수가 아주 작아질 때 함수의 값은 아주 작아진다.

함수의 최솟값을 찾는 문제는 최적화 문제에서 아주 중요하다고 할 수 있다. 예를 들어 부피가 주어진 육각형 모양의 상자를 만들 때 가로와 세로, 높이를 어떻게 하면 최소 겉넓이를 갖는 상자를 만들 수 있는가 하는 문제는 함수의 최솟값을 찾는 문제이다. 최솟값을 찾는 가장 기본적인 방법은 미분을 이용하는 것이다. 미분가능한 함수가 구간 $\displaystyle [a,b]$의 내부의 점에서 최솟값을 가지는 경우와 경계점에서 최솟값을 가지는 경우는 매우 다르다. 구간 내의 점 $\displaystyle c$에서 함수가 최솟값을 갖는 경우 $\displaystyle a<c<b$이면 함수의 미분값은 0이 되어야 하며, $\displaystyle a$에서 최솟값을 가지면 미분값은 0보다 같거나 커야 한다. 또한 $\displaystyle b$에서 최솟값을 가지면 미분값은 0보다 같거나 작아야 한다. 함수의 최솟값을 찾는 문제도 중요하지만 최솟값이 존재하는가 하는 문제 또한 중요하다. 연속함수의 경우 구간에서의 최솟값의 존재성 문제는 구간에 따라 다르다. 예를 들어 함수 $\displaystyle y=-\frac1x$은 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 최솟값을 갖지 않는다. 함수 $\displaystyle y=g(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이면 이 함수의 구간 $\displaystyle [a,b]$에서의 최솟값의 존재 문제는 잘 알려져 있다. 다음은 유한 구간이 아닌 경우를 생각하자. 변수가 아주 작아지거나 아주 커지는 경우에 최솟값을 생각할 수 있다. 만일 함수 $\displaystyle y=h(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이라 하고, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h(x)=\infty$인 경우, 실수 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle M>0$, 집합 $\displaystyle (-\infty,-M]\cup[M,\infty)$내의 점 $\displaystyle a$가 존재하여 $\displaystyle x\ge M$ 또는 $\displaystyle x\le-M$이면 $\displaystyle h(x)\ge\alpha=h(a)$이다. 다시말하면 함수 $\displaystyle y=h(x)$는 집합 $\displaystyle (-\infty,-M]\cup[M,\infty)$에서 최솟값을 가진다.

다항함수 $\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$라 하자. $\displaystyle \mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.