자연계열 2번

문제1. 두 복소수를 각각 $\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}$, $\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}$라고 할 때 정의에 의해 $\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$이다.$\displaystyle z_{1}=0+i=i$, $\displaystyle z_{2}=0+i=i$라고 하면,$\displaystyle \begin{aligned} z_{1}z_{2} &= i^{2} \\ z_{1}z_{2} &= (0-1)+i(0+0)=-1+0i=-1 \end{aligned}$그러므로 $\displaystyle i^{2}=-1$임을 알 수 있다.

문제2. 예시답안 A. 덧셈의 정의로부터 다음처럼 평행 사변형이 만들어진다. 따라서 등식 $\displaystyle |z_{1}|+|z_{2}|=|z_{1}+z_{2}|$이 성립하기 위해서는 $\displaystyle z_{1}$과 $\displaystyle z_{2}$는 일직선 상에 놓여야 할 것이다.

예시답안 B. 두 복소수를 각각 $\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}$, $\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}$라고 할 때 양변을 각각 제곱하면$\displaystyle \begin{aligned} |z_{1}+z_{2}|^{2} &= (x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2y_{1}y_{2} && \text{(식 1)} \\ (|z_{1}|+|z_{2}|)^{2} &= |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+2|z_{1}||z_{2}|=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+2\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} && \text{(식 2)} \end{aligned}$이 된다.

(식 1)과 (식 2)가 같기 위해서는 $\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$가 성립해야 된다. 양변을 각각 제곱하면$\displaystyle \begin{aligned} (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2} &= x_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} && \text{(식 3)} \\ \left(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)^{2} &= (x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2} && \text{(식 4)} \end{aligned}$

(식 3)과 (식 4) 양 변이 같기 위해서는 $\displaystyle 2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}$가 성립해야 한다는 사실을 알 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} & 2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2} \\ \Leftrightarrow\ & x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=0 \\ \Leftrightarrow\ & (x_{1}^{2}y_{2}^{2}-x_{2}^{2}y_{1}^{2})^{2}=0 \\ \Leftrightarrow\ & x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} \end{aligned}$

$\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}$이 성립하기 위해서는1) 양변이 0인 경우와 2) 양변이 0이 아닌 경우, 두 가지로 나눌 수 있다.1) 의 경우, $\displaystyle z_{1}$, $\displaystyle z_{2}$ 둘 중 하나가 0 이거나, $\displaystyle z_{1}$, $\displaystyle z_{2}$의 실수부나 허수부가 동시에 0일 경우이다.2) 의 경우,$\displaystyle \begin{aligned} & x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} \\ \Leftrightarrow\ & \frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}} \end{aligned}$이므로, $\displaystyle az_{1}=z_{2}$를 만족하는 0이 아닌 실수 $\displaystyle a$가 존재하면 된다.

문제3. 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 것이다. $\displaystyle n$이 0일 때, 당연히 성립한다. $\displaystyle n$이 1일 때, $\displaystyle z=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)$는 정의에 의해 성립한다.$\displaystyle n$이 $\displaystyle k$일 때, $\displaystyle z^{k}=\rho^{k}(\cos k\phi+i\sin k\phi)$를 참이라고 가정하면$\displaystyle \begin{aligned} z^{k+1} &= z^{k}\cdot z=\rho^{k}(\cos k\phi+i\sin k\phi)\cdot\rho(\cos\phi+i\sin\phi) \\ &= (\rho^{k}\cos k\phi+\rho^{k}i\sin k\phi)(\rho\cos\phi+\rho i\sin\phi) \\ &= \frac{1}{2}\rho^{k+1}[\{\cos(k+1)\phi+\cos(k-1)\phi\}+\{\cos(k+1)\phi-\cos(k-1)\phi\} \\ &\qquad\qquad +i\{\sin(k+1)\phi+\sin(k-1)\phi\}+i\{\sin(k+1)\phi-\sin(k-1)\phi\}] \\ &= \frac{1}{2}\rho^{k+1}\{2\cos(k+1)\phi+2i\sin(k+1)\phi\} \\ &= \rho^{k+1}\{\cos(k+1)\phi+i\sin(k+1)\phi\} \end{aligned}$따라서 $\displaystyle n$이 $\displaystyle k+1$일 때 역시 성립한다.

$\displaystyle n$이 음의 정수인 경우, $\displaystyle n$이 −1이면$\displaystyle \begin{aligned} z^{-1} &= \frac{1}{z}=\frac{1}{\rho(\cos\phi+i\sin\phi)} \\ &= \frac{1}{\rho}(\cos\phi-i\sin\phi) \\ &= \frac{1}{\rho}\{\cos(-\phi)+i\sin(-\phi)\} \end{aligned}$이므로 성립한다.

$\displaystyle n$이 $\displaystyle -k$일 때, $\displaystyle z^{-k}=\rho^{-k}\{\cos(-k\phi)+i\sin(-k\phi)\}=\rho^{-k}(\cos k\phi-i\sin k\phi)$를 참이라고 가정하면$\displaystyle \begin{aligned} z^{-k-1} &= z^{-k}\cdot z^{-1}=\rho^{-k}(\cos k\phi-i\sin k\phi)\cdot\rho^{-1}(\cos\phi-i\sin\phi) \\ &= (\rho^{-k}\cos k\phi-\rho^{-k}i\sin k\phi)(\rho^{-1}\cos\phi-\rho^{-1}i\sin\phi) \\ &= \frac{1}{2}\rho^{-k-1}[\{\cos(k+1)\phi+\cos(k-1)\phi\}+\{\cos(k+1)\phi-\cos(k-1)\phi\} \\ &\qquad\qquad -i\{\sin(k+1)\phi+\sin(k-1)\phi\}-i\{\sin(k+1)\phi-\sin(k-1)\phi\}] \\ &= \frac{1}{2}\rho^{-k-1}\{2\cos(k+1)\phi-2i\sin(k+1)\phi\} \\ &= \rho^{-k-1}\{\cos(-k-1)\phi+i\sin(-k-1)\phi\} \end{aligned}$이므로 $\displaystyle n=-k-1$인 경우에도 성립함을 알 수 있다.

문제4. 주어진 복소수는 주어진 정의에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다.

이때, $\displaystyle \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}}=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)$가 된다. 그리고 좌표축을 평행하게 이동시켜도 좌표에 의하여 생성되는 각에는 변화를 주지 않으므로 그림과 같이 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축을 이동한 좌표를 생각하면, $\displaystyle z_{1}=0$이고,$\displaystyle \begin{aligned} \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} &= \rho^{\prime}(\cos\phi+i\sin\phi) \\ \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} &= \frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}=\frac{z_{2}-0}{z_{3}-0}=\frac{z_{2}}{z_{3}} \end{aligned}$이다.

이동한 좌표축에서 $\displaystyle z_{2}$, $\displaystyle z_{3}$를 정의에 따라 살펴보면 $\displaystyle z_{2}=\rho_{1}(\cos\phi_{1}+i\sin\phi_{1})$, $\displaystyle z_{3}=\rho_{2}(\cos\phi_{2}+i\sin\phi_{2})$이고,$\displaystyle \begin{aligned} \frac{z_{2}}{z_{3}} &= \frac{\rho_{1}(\cos\phi_{1}+i\sin\phi_{1})}{\rho_{2}(\cos\phi_{2}+i\sin\phi_{2})}=\frac{\rho_{1}(\cos\phi_{1}+i\sin\phi_{1})(\cos\phi_{2}-i\sin\phi_{2})}{\rho_{2}(\cos\phi_{2}+i\sin\phi_{2})(\cos\phi_{2}-i\sin\phi_{2})} \\ &= \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\{(\cos\phi_{1}\cos\phi_{2}+\sin\phi_{1}\sin\phi_{2})+i(\sin\phi_{1}\cos\phi_{2}-\cos\phi_{1}\sin\phi_{2})\} \\ &= \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})+i\sin(\phi_{1}-\phi_{2}) \end{aligned}$

따라서 주어진 복소수의 각 $\displaystyle \phi$는 다음과 같고,$\displaystyle \phi=\phi_{1}-\phi_{2}$이것은 $\displaystyle \angle z_{2}z_{1}z_{3}$이다.

문제5. 두 복소수 $\displaystyle (z_{3}-z_{1})/(z_{3}-z_{2})$과 $\displaystyle (z_{4}-z_{1})/(z_{4}-z_{2})$의 각은 선분 $\displaystyle \overline{z_{1}z_{2}}$를 기준으로 각각 $\displaystyle z_{3}$와 $\displaystyle z_{4}$를 꼭짓점으로 갖는 각이다. 두 복소수 $\displaystyle (z_{3}-z_{1})/(z_{3}-z_{2})$과 $\displaystyle (z_{4}-z_{1})/(z_{4}-z_{2})$의 각이 같으므로 원의 성질에 의하여 선분 $\displaystyle \overline{z_{1}z_{2}}$를 현으로 갖는 사각형 $\displaystyle \square z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}$의 외접원이 존재한다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 네 복소수들은 한 원 위에 있다.그 역도 한 원 위의 같은 현 $\displaystyle \overline{z_{1}z_{2}}$에 대한 두 원주각 $\displaystyle (z_{3}-z_{1})/(z_{3}-z_{2})$과 $\displaystyle (z_{4}-z_{1})/(z_{4}-z_{2})$의 각의 크기는 서로 같으므로 성립한다.