자연계열 1번

■ 1-1함수의 곱의 미분법에 의해 다음의 관계가 성립한다.$\displaystyle f^{\prime}(x+1)=f(x)+(x+1)f^{\prime}(x)\ \Rightarrow\ f^{\prime}(x+1)-(x+1)f^{\prime}(x)=f(x)\quad\cdots\cdots\quad\text{①}$

정의된 함수의 관계를 이용하면$\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=2f(1)=2!$, $\displaystyle f(3)=3f(2)=3!$, $\displaystyle \cdots$ 이고

$\displaystyle f^{\prime}(4)-9f^{\prime}(2)-6f^{\prime}(1)$에 식 ①의 관계를 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(4)-9f^{\prime}(2)-6f^{\prime}(1)&=f^{\prime}(4)-4f^{\prime}(3)+4(f^{\prime}(3)-3f^{\prime}(2))+3(f^{\prime}(2)-2f^{\prime}(1))\\&=f(3)+4f(2)+3f(1)=3!+4\times2!+3\times1=17\end{aligned}$이다.

■ 1-2부분적분에 의해$\displaystyle f(u)=\int_0^1x^u(1-x)^{10}\,dx=\left.-x^u\frac1{11}(1-x)^{11}\right|_{x=0}^1+\frac u{11}\int_0^1x^{u-1}(1-x)^{11}\,dx=\frac u{11}\int_0^1x^{u-1}(1-x)^{11}\,dx$

이 식이 $\displaystyle f(u)$ 또는 $\displaystyle f(u-1)$의 꼴이 되기 위해서는 $\displaystyle (1-x)$의 지수가 $\displaystyle 10$이 되어야 하므로$\displaystyle \begin{aligned}f(u)&=\frac u{11}\int_0^1x^{u-1}(1-x)^{11}\,dx=\frac u{11}\int_0^1x^{u-1}(1-x)(1-x)^{10}\,dx\\&=\frac u{11}\int_0^1(x^{u-1}-x^u)(1-x)^{10}\,dx=\frac u{11}\left(\int_0^1x^{u-1}(1-x)^{10}\,dx-\int_0^1x^u(1-x)^{10}\,dx\right)\\&=\frac u{11}f(u-1)-\frac u{11}f(u)\end{aligned}$위 관계식을 정리하면 $\displaystyle f(u)=\frac u{u+11}f(u-1)$이므로 $\displaystyle g(u)=\frac u{u+11}$이다.

이 관계식을 이용하면 $\displaystyle f(u+1)=\frac{(u+1)}{u+12}f(u)=\frac{(u+1)u}{(u+12)(u+11)}f(u-1)$이므로,$\displaystyle \frac{u(u+1)}{(u+11)(u+12)}=\frac1{12}$을 만족시키는 $\displaystyle u$를 찾는다.$\displaystyle 12u^2+12u=u^2+21u+132\ \Rightarrow\ 11u^2-11u-132=0\ \Rightarrow\ u^2-u-12=(u-4)(u+3)=0$Correction. 전개식의 $\displaystyle 21u$는 $\displaystyle 23u$의 오기이다.$\displaystyle (u+11)(u+12)=u^2+23u+132$이어지는 정리식과 $\displaystyle u=4$라는 결론에는 올바른 계수가 반영되어 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle u\ge2$이므로 $\displaystyle u=4$이다.