자연계열 3번

■ 3-1삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_i\mathrm A_{i+1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12xh$이고 $\displaystyle x=2\cos\theta_i$, $\displaystyle h=\sin\theta_i$이므로$\displaystyle \frac12xh=\frac122\sin\theta_i\cos\theta_i=\frac12\sin(2\theta_i)$($\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$이므로 $\displaystyle 2\sin\theta_i\cos\theta_i=\sin(\theta_i+\theta_i)=\sin(2\theta_i)$이다.)따라서 원에 내접하는 $\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)$이다.(별해. $\displaystyle \theta_i=\angle\mathrm{OA}_i\mathrm A_{i+1}$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm A_i\mathrm{OA}_{i+1}=\pi-2\theta_i$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_i\mathrm A_{i+1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin(\pi-2\theta_i)=\frac12\sin(2\theta_i)$이고 $\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)$이다.)

한편 $\displaystyle f(x)=\sin x$라 하면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\sin x$이므로 구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이다.따라서 구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 함수 $\displaystyle f(x)=\sin x$의 그래프는 위로 볼록이고제시문 <마>에 의해 부등식 $\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)\le\sin\left(\frac1n\sum_{i=1}^n2\theta_i\right)$이 성립한다.즉, $\displaystyle \frac12\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)=\frac n2\left(\frac1n\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)\right)\le\frac n2\sin\left(\frac1n\sum_{i=1}^n2\theta_i\right)$

여기서 $\displaystyle \sum_{i=1}^n2\theta_i$는 $\displaystyle n$각형의 내각의 합이므로$\displaystyle \sum_{i=1}^n2\theta_i=(n-2)\pi$이고, 등호는 $\displaystyle \theta_1=\theta_2=\cdots=\theta_n$일 때 성립하므로$\displaystyle \frac12\sum_{i=1}^n\sin(2\theta_i)\le\frac n2\sin\frac{(n-2)\pi}n=\frac n2\sin\left(\pi-\frac{2\pi}n\right)=\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}n\right)$즉, 원에 내접하는 $\displaystyle n$각형의 넓이가 최대인 경우는 정$\displaystyle n$각형이고 그 넓이는 $\displaystyle \frac n2\sin\frac{2\pi}n$이다.

■ 3-2문제 3-1에서 원에 내접하는 정$\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle \frac n2\sin\frac{2\pi}n$이다. …… ①원에 외접하는 정$\displaystyle n$각형의 넓이를 구하자. 원 $\displaystyle \mathrm O$에 외접하는 정$\displaystyle n$각형의 꼭짓점을 각각 $\displaystyle \mathrm B_1,\mathrm B_2,\cdots,\mathrm B_n$이라 하면 $\displaystyle \angle\mathrm B_i\mathrm{OB}_{i+1}=\frac{2\pi}n$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm B_i\mathrm B_{i+1}}=2\tan\frac{2\pi}{2n}$이고 원의 중심 $\displaystyle \mathrm O$에서 현 $\displaystyle \mathrm B_i\mathrm B_{i+1}$에 내린 수선의 길이는 반지름의 길이와 같으므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm B_i\mathrm{OB}_{i+1}$의 넓이 $\displaystyle S_i$는 $\displaystyle S_i=\tan\frac\pi n$이다.

(별해. $\displaystyle \angle\mathrm{OB}_i\mathrm B_{i+1}=\frac\pi2-\frac\pi n$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm B_i\mathrm{OB}_{i+1}$의 넓이는 $\displaystyle \cot\left(\frac\pi2-\frac\pi n\right)=\tan\frac\pi n$이다.)따라서 원에 외접하는 정$\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle n\tan\frac\pi n$이다. …… ②

①, ②에서 원의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면 $\displaystyle \frac n2\sin\frac{2\pi}n<A<n\tan\frac\pi n$

위 식에 $\displaystyle n\to\infty$인 극한을 구하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n2\sin\frac{2\pi}n=\lim_{n\to\infty}\frac n2\frac{2\pi}n\frac{\sin\left(\frac{2\pi}n\right)}{\frac{2\pi}n}=\pi\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{2\pi}n\right)}{\frac{2\pi}n}=\pi$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\tan\frac\pi n=\lim_{n\to\infty}n\frac{\sin\frac\pi n}{\cos\frac\pi n}=\lim_{n\to\infty}n\sin\frac\pi n\lim_{n\to\infty}\sec\frac\pi n$이다.여기서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\sin\frac\pi n=\lim_{n\to\infty}n\frac\pi n\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}=\pi$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sec\frac\pi n=1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\tan\frac\pi n=\pi$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n2\sin\frac{2\pi}n=\pi\le A\le\pi=\lim_{n\to\infty}n\tan\frac\pi n$이므로 $\displaystyle A=\pi$즉, 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원의 넓이는 $\displaystyle \pi$이다.