자연계열 1번

문제 1-A(1) 중심이 원점에 놓인 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$에 접하는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은$\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이므로, 타원 $\displaystyle C$에 대한 기울기 $\displaystyle m$인 접선의 방정식은$\displaystyle y=mx\pm\sqrt{8m^2+2}$이다. 한편 점 $\displaystyle P(4,\sqrt6)$를 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-4)+\sqrt6$로 나타낸다. 따라서 기울기 $\displaystyle m$은 다음의 방정식을 만족한다.$\displaystyle \pm\sqrt{8m^2+2}=\sqrt6-4m$위 식을 제곱하여 이차방정식 $\displaystyle 2m^2-2\sqrt6m+1=0$을 얻고, 이로부터 $\displaystyle m=\frac{\sqrt6\pm2}2$을 구한다.

(2) 두 접선 $\displaystyle \ell_1,\ell_2$가 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \theta_1,\theta_2$라 하면, 두 접선이 이루는 각은 $\displaystyle \theta=\theta_2-\theta_1$을 만족한다. $\displaystyle \tan\theta_1=\frac{\sqrt6-2}2$, $\displaystyle \tan\theta_2=\frac{\sqrt6+2}2$임을 이용하여 $\displaystyle \tan\theta$를 구하면$\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\left(\frac{\sqrt6+2}2\right)-\left(\frac{\sqrt6-2}2\right)}{1+\left(\frac{\sqrt6+2}2\right)\cdot\left(\frac{\sqrt6-2}2\right)}=\frac43$이다. $\displaystyle \theta$의 구간 $\displaystyle [0^\circ,90^\circ)$에서 $\displaystyle y=\tan\theta$는 단조증가함수이며 $\displaystyle \tan60^\circ=\sqrt3>\frac43$이므로, $\displaystyle \theta<60^\circ$이다.

(3) 이등분선 $\displaystyle \ell$이 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각은 $\displaystyle \theta_1+\frac\theta2$이므로, 직선 $\displaystyle \ell$의 기울기는 $\displaystyle \tan\left(\theta_1+\frac\theta2\right)$이다. $\displaystyle \tan\frac\theta2=t$로 치환하면 $\displaystyle \tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}=\frac43$이고, $\displaystyle \theta$는 예각이므로 $\displaystyle t=\tan\frac\theta2=\frac12$을 얻는다. 따라서$\displaystyle \tan\left(\theta_1+\frac\theta2\right)=\frac{\left(\frac{\sqrt6-2}2\right)+\frac12}{1-\left(\frac{\sqrt6-2}2\right)\cdot\frac12}=\frac{\sqrt6}3$ 이고,직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{\sqrt6}3(x-4)+\sqrt6=\frac{\sqrt6}3x-\frac{\sqrt6}3$ 이다.

문제 1-B(1) 기계는 신형과 구형 두 종류밖에 없으므로, 금을 제련할 때 구형기계를 사용하는 사건을 $\displaystyle A$라 하면, 신형 기계를 사용하는 사건을 $\displaystyle A^c$라 할 수 있다. 원석가루 1톤으로부터 생산된 금의 양이 0.2 kg이하인 사건은 $\displaystyle B$라 하자. 이때, 각각의 확률은 다음과 같이 계산될 수 있다.－ 구형기계로부터 0.2kg 이하의 금이 생산될 확률$\displaystyle P(B\mid A)=P(W\le0.2\mid A)=P(0.5X\le0.2)=P\left(X\le\frac25\right)=\int_0^{2/5}2-2x\,dx=\frac{16}{25}$－ 신형기계로부터 0.2kg 이하의 금이 생산될 확률$\displaystyle P(B\mid A^c)=P(W\le0.2\mid A^c)=P(0.6X\le0.2)=P\left(X\le\frac13\right)=\int_0^{1/3}2-2x\,dx=\frac59$

(2) 임의의 기계를 이용해 원석가루 1톤으로부터 0.2 kg 이하의 금을 생산하는 사건($\displaystyle B$)이 일어났을 때, 그 기계가 구형이었을 사건($\displaystyle A$)의 확률은 조건부 확률 $\displaystyle P(A\mid B)$이다. 제시문에 따르면,$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$이므로, 확률 $\displaystyle P(A\cap B)$와 확률 $\displaystyle P(B)$를 구해야 한다.사건 $\displaystyle B$는 사건 $\displaystyle A$ 아니면 사건 $\displaystyle A^c$와 동시에 발생하고 그 외의 경우는 없다. 따라서 사건 $\displaystyle B$가 발생할 확률은 사건 $\displaystyle B$와 사건 $\displaystyle A$가 동시에 발생하는 확률과 사건 $\displaystyle B$와 사건 $\displaystyle A^c$가 동시에 발생하는 확률의 합이 된다. 따라서 다음의 등식을 얻는다.$\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)$위 (1)에서 구한 조건부 확률들을 이용해 우변의 두 항을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac1{10}\cdot\frac{16}{25}$$\displaystyle P(A^c\cap B)=P(A^c)\cdot P(B\mid A^c)=\frac9{10}\cdot\frac59$따라서 다음과 같이 조건부 확률 $\displaystyle P(A\mid B)$를 구할 수 있다.$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac1{10}\cdot\frac{16}{25}}{\frac1{10}\cdot\frac{16}{25}+\frac9{10}\cdot\frac59}=\frac{16}{16+125}=\frac{16}{141}$