자연계열 1번

문제 1-A

(1) 이 문항은 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}2x+2y+z=100\\x+y+z=60\end{cases}$의 자연수해의 개수를 구하는 것이다. 위의 식에서 아래의 식을 빼 주면, $\displaystyle x+y=40$을 얻고 이로부터 $\displaystyle z=20$을 얻는다. 따라서 연립방정식을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 $\displaystyle x+y=40$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수와 같다. $\displaystyle x+y=40$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수는 40을 두 개의 자연수로 분할하는 경우의 수와 같으므로, $\displaystyle P(40,2)={}_{39}\mathrm{C}_1=39$이다.

(2) 집합 $\displaystyle A$의 원소의 개수는 $\displaystyle 2x+2y+z=100$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y,z$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수이다. $\displaystyle x+y=k$라 하면, $\displaystyle x,y$는 자연수이고, $\displaystyle z=100-2x-2y=2(50-k)$도 자연수 이므로 $\displaystyle k$는 2 이상 49이하의 모든 자연수, 즉 $\displaystyle 2\le x+y=k\le49$이다. 따라서 $\displaystyle z$는 2 이상 96 이하의 짝수이다. 이로부터 $\displaystyle 2x+2y+z=100$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y,z$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 $\displaystyle 2\le x+y=k\le49$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수와 같다.

$\displaystyle x+y=k$를 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수는 $\displaystyle P(k,2)={}_{k-1}\mathrm{C}_1=k-1$이므로, $\displaystyle 2\le x+y=k\le49$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수는$\displaystyle \sum_{k=2}^{49}P(k,2)=\sum_{k=2}^{49}(k-1)=\sum_{m=1}^{48}m=1176$이다.

이 중에서 $\displaystyle x+y+z=60$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x,y,z$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 문항 (1)로부터 39개 이므로, 집합 $\displaystyle A$의 원소 중에서 $\displaystyle x+y+z=60$을 만족하지 않는 자연수 $\displaystyle x,y,z$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 $\displaystyle 1176-39=1137$개 이다.

문제 1-B

시각 $\displaystyle t$에서 물탱크 안의 물의 양의 순간변화율은 $\displaystyle f(t)-g(t)$이다. 따라서 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=2$까지 물탱크 물의 변화량(L)은 순간변화율을 적분하여 얻을 수 있다. 최초의 물의 양 10L를 더하면 $\displaystyle t=2$에서 물의 양은$\displaystyle 10+\int_0^2(f(t)-g(t))\,dt$

두 함수 $\displaystyle f(t)$, $\displaystyle g(t)$ 각각에 대한 정적분을 부분적분과 치환적분을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2f(t)\,dt&=\int_0^24(t+2)\ln(t+2)\,dt\\&=\left.2x^2\ln x-x^2\right|_2^4\\&=56\ln2-12\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2g(t)\,dt&=\int_0^2\frac{2\ln(t+1)}{(t+1)}\,dt\\&=\int_0^{\ln3}2u\,du\\&=(\ln3)^2\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle t=2$에 물탱크에 들어있는 물의 양은 $\displaystyle 56\ln2-2-(\ln3)^2$ (L) 이다.