자연계열 1번

숭실대 2017학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ssu/2017su/jayeon_1

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숭실대 2017학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ssu/2017su/jayeon_1

문제 1-A

(1) 이 문항에서 제시된 조건은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}f(1)=100&\quad\rightarrow\quad a+b+c=100\\\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}f(x)\,dx=40\sqrt3&\quad\rightarrow\quad2\sqrt3a+2\sqrt3c=40\sqrt3\quad\rightarrow\quad a+c=20\end{aligned}$

· 1-A (1) 주어진 조건을 만족하는 경우의 수를 정확히 계산할 수 있다.

위 식으로부터 $\displaystyle a+c=20$ , $\displaystyle b=80$ 이 된다. $\displaystyle a+c=20$ 을 만족하는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (a,c)$ 의 개수는 $\displaystyle {}_{19}\mathrm{C}_1=19$ 개이므로, 모든 조건을 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$ 의 개수는 19개 이다.

(2) 이 문항에서 제시된 조건은 다음과 같다.① $\displaystyle f(1)=100\quad\rightarrow\quad a+b+c=100$ ② $\displaystyle f^{\prime}\left(-\frac12\right)<0\quad\rightarrow\quad-a+b<0\quad\rightarrow\quad a>b$

· 1-A (2) 원하는 조건의 순서쌍의 개수를 구하기 위해 문제를 분석할 수 있다.

조건 ①을 만족하는 자연수의 순서쌍의 개수는 $\displaystyle {}_{99}\mathrm{C}_2=4851$ 개 이다. 이를 만족하는 모든 순서쌍은 $\displaystyle a>b$ 인 경우와 $\displaystyle a=b$ 인 경우, $\displaystyle a<b$ 인 경우로 나누어진다. 이 중에서 $\displaystyle a>b$ 인 순서쌍의 개수와 $\displaystyle a<b$ 인 순서쌍의 개수는 정확히 같으므로, 조건 ①을 만족하는 순서쌍에서 $\displaystyle a=b$ 인 순서쌍을 제외한 나머지의 절반이 조건 ①, ②를 모두 만족하는 순서쌍이다.

$\displaystyle a+b+c=100$ , $\displaystyle a=b$ 인 경우는 $\displaystyle 2a+c=100$ 인 경우를 고려하는 것과 같다. 이때 $\displaystyle c=2(50-a)$ 이므로 $\displaystyle c$ 는 100보다 작은 짝수, 즉 $\displaystyle c=2,4,\cdots,98$ 이다. 따라서 $\displaystyle a+b+c=100$ , $\displaystyle a=b$ 인 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$ 의 개수는 49이다.

· 1-A (2) 분석된 경우에 대해 정확한 경우의 수를 구할 수 있다.

위 결과로부터, $\displaystyle a+b+c=100$ , $\displaystyle a>b$ 인 경우의 개수는 $\displaystyle (4851-49)/2=2401$ 이다.

문제 1-B

· 1-B 삼수선의 정리를 활용하여 주어진 점을 좌표공간에 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \overline{PC}\perp\overline{BC}$ 이고 $\displaystyle \overline{PA}\perp\alpha$ 이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{AC}\perp\overline{BC}$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle C$ 를 좌표공간의 원점, 점 $\displaystyle A$ 를 $\displaystyle x$ 축 양의 방향, 점 $\displaystyle B$ 를 $\displaystyle y$ 축 양의 방향에 놓을 수 있다. 즉, $\displaystyle C=(0,0,0)$ , $\displaystyle A=(a,0,0)$ , $\displaystyle B=(0,b,0)$ 라 하자. ( $\displaystyle a,b$ 는 양수).

선분 $\displaystyle PA$ 와 선분 $\displaystyle QB$ 는 평면 $\displaystyle \alpha$ ( $\displaystyle xy$ -평면)에 수직이고, 선분 $\displaystyle PQ$ 가 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 만나지 않으며, $\displaystyle \tan\angle PCA=\frac13$ , $\displaystyle \tan\angle QCB=\frac32$ 이므로 점 $\displaystyle P,Q$ 의 좌표는 $\displaystyle P=\left(a,0,\frac a3\right)$ , $\displaystyle Q=\left(0,b,\frac{3b}2\right)$ 로 놓을 수 있다. (점 $\displaystyle P,Q$ 의 $\displaystyle z$ 좌표가 모두 음수인 경우도 결과는 같다.)

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

· 1-B 세 점을 지나는 평면의 법선벡터를 구할 수 있다.

평면 $\displaystyle PCQ$ 의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n=(x,y,z)$ 라고 하면, $\displaystyle \begin{cases}ax+\frac13az=0\\by+\frac32bz=0\end{cases}$ 을 만족한다. 이로부터 평면 $\displaystyle PCQ$ 의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n=(2,9,-6)$ 으로 놓을 수 있다. 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터를 $\displaystyle \vec m=(0,0,1)$ 로 놓으면

· 1-B 두 평면이 이루는 각을 구할 수 있다.

$\displaystyle \cos\theta=\frac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\,|\vec m|}=\frac{|-6|}{1\cdot\sqrt{2^2+9^2+6^2}}=\frac6{11}$ 을 얻는다.

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