자연계열 1번

원과 $\displaystyle y$축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle A$, 원과 부채꼴의 외곽선이 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 $\displaystyle B$, 원의 중심을 $\displaystyle C$라고 하자. 이때, 원과 직선의 성질에 의해 각$\displaystyle BAC=\theta$가 되고, 따라서 각$\displaystyle BCO=2\theta$가 된다.모든 각이 호도법으로 표기된다면, 주어진 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac12(2\sqrt3)^2\theta$이다. 또한 부채꼴$\displaystyle BCO$의 넓이는 $\displaystyle \frac122^2(2\theta)=4\theta$이다. $\displaystyle S_2$는 부채꼴$\displaystyle BCO$의 넓이에서 삼각형$\displaystyle BCO$의 넓이를 뺀 값이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_2(\theta)&=\frac{(2\theta)}2\cdot2^2-\frac12\cdot2^2\cdot\sin2\theta\\&=4\theta-2\sin2\theta\end{aligned}$이다.

따라서$\displaystyle S_1(\theta)=6\theta-S_2(\theta)=2\theta+2\sin2\theta$이고$\displaystyle T(\theta)=S_1(\theta)-S_2(\theta)=4\sin2\theta-2\theta$이다. 이 함수의 도함수는$\displaystyle \frac{dT}{d\theta}=8\cos2\theta-2$이다.

이 도함수는 $\displaystyle [0,\pi/3]$에서 감소함수이고, $\displaystyle \theta=0$에서 6, $\displaystyle \theta=\frac\pi3$에서 $\displaystyle -6$이므로, $\displaystyle T(\theta)=S_1-S_2$는 $\displaystyle \cos2\theta=\frac14$인 $\displaystyle \theta$를 기준으로 증가에서 감소로 바뀌므로, 이 값에서 최대가 된다.

(2) 처음 공격한 사람이 승리할 확률은$\displaystyle \frac13+\frac23\cdot\frac23\cdot\frac13+\cdots+\left(\frac23\right)^{2n}\cdot\frac13+\cdots=\frac13\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac23\right)^{2n}=\frac13\frac1{1-\frac49}=\frac35$이고, 나중에 공격한 사람이 승리할 확률은$\displaystyle \frac23\cdot\frac13+\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23\cdot\frac13+\cdots+\left(\frac23\right)^{2n+1}\cdot\frac13+\cdots=\frac29\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac23\right)^{2n}=\frac29\frac1{1-\frac49}=\frac25$이다.

첫 번째 게임에서 $\displaystyle A$가 승리하는 사건을 $\displaystyle A_1$, 첫 번째 게임에서 $\displaystyle B$가 승리하는 사건을 $\displaystyle B_1$, 두 번째 게임에서 $\displaystyle A$가 승리하는 사건을 $\displaystyle A_2$, 두 번째 게임에서 $\displaystyle B$가 승리하는 사건을 $\displaystyle B_2$라고 하면, 위 표의 각 경우의 확률은1) $\displaystyle P[A_1\cap A_2]=P[A_1]\cdot P[A_2\mid A_1]=\frac35\times\frac25=\frac6{25}$2) $\displaystyle P[B_1\cap A_1]=P[B_1]\cdot P[A_2\mid B_1]=\frac25\times\frac35=\frac6{25}$Correction. 첫 확률의 사건 $\displaystyle A_1$은 $\displaystyle A_2$의 오기이다. 첫 번째 게임에서 B가, 두 번째 게임에서 A가 승리하는 경우이므로 $\displaystyle P(B_1\cap A_2)$로 적어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.3) $\displaystyle P[A_1\cap B_2]=P[A_1]\cdot P[B_2\cap A_1]=\frac35\times\frac35=\frac9{25}$Correction. 곱의 두 번째 확률에 있는 교집합 기호 $\displaystyle \cap$는 조건부확률 기호 $\displaystyle \mid$의 오기이다.$\displaystyle P(A_1)P(B_2\mid A_1)=\frac35\times\frac35=\frac9{25}$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.4) $\displaystyle P[B_1\cap B_2]=P[B_1]\cdot P[B_2\mid B_1]=\frac25\times\frac25=\frac4{25}$이다.

이때 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle 2\times\frac6{25}+1\times\frac{15}{25}+0\times\frac4{25}=\frac{27}{25}$