자연계열 1번

문제 1-A

(1) 주머니 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$에서 각각 1개씩 구슬을 꺼내는 모든 경우의 수는 $\displaystyle 5\times5=25$이다. 주머니 $\displaystyle A$에 들어 있는 숫자 1의 두 구슬을 구분하여 1a, 1b로 나타내고, 주머니 $\displaystyle B$에 들어 있는 숫자 2의 두 구슬을 2a, 2b로 나타낸다. 그러면 $\displaystyle m+n$이 6 이상이 되는 경우는 (1a, 5), (1b, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 1), (5, 2a), (5, 2b), (5, 4), (5, 5)로, 이 경우의 수는 11이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{11}{25}$이다.

(2) 주머니에서 처음 꺼낸 구슬 위의 숫자 합 $\displaystyle m+n$이 6 이상인 사건을 $\displaystyle C$, 처음 꺼낸 구슬 위의 숫자 합 $\displaystyle m+n$이 5 이하이고 두 번째 꺼낸 구슬 위의 숫자 합이 6 이상인 사건을 $\displaystyle D$, 최종 점수가 6점 이상인 사건을 $\displaystyle E$라 하자. 두 사건 $\displaystyle C$와 $\displaystyle D$는 서로 배반사건이므로,$\displaystyle P(E)=P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\frac{11}{25}+\left(1-\frac{11}{25}\right)\times\frac{11}{25}$이다. 따라서 최종 점수가 6점 이상일 때, 주머니에서 구슬을 한 번씩만 꺼냈을 확률은$\displaystyle P(C\mid E)=\frac{P(E\cap C)}{P(E)}=\frac{\frac{11}{25}}{\frac{11}{25}+\left(1-\frac{11}{25}\right)\times\frac{11}{25}}=\frac{25}{39}$이다.

문제 1-B

점 $\displaystyle (p,q)$와 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리는$\displaystyle \left|\frac{ap+bq+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$이다. 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점을 $\displaystyle P(\cos\theta,\sin\theta)$로 나타내면$\displaystyle d_1(\theta)=\left|\frac{3\cos\theta+4\sin\theta-8}{5}\right|,\quad d_2(\theta)=\left|\frac{4\cos\theta-3\sin\theta+6}{5}\right|$이다. 사인의 덧셈정리에 의해$\displaystyle |3\cos\theta+4\sin\theta|=\left|5\left(\frac35\cos\theta+\frac45\sin\theta\right)\right|=|5\sin(\alpha+\theta)|\le5$$\displaystyle |4\cos\theta-3\sin\theta|=\left|5\left(\frac45\cos\theta-\frac35\sin\theta\right)\right|=|5\sin(\beta+\theta)|\le5$($\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \sin\alpha=\frac35$, $\displaystyle \cos\alpha=\frac45$인 각이고, $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \sin\beta=\frac45$, $\displaystyle \cos\beta=-\frac35$인 각)가 성립하므로$\displaystyle d_1(\theta)=\frac{-3\cos\theta-4\sin\theta+8}{5},\quad d_2(\theta)=\frac{4\cos\theta-3\sin\theta+6}{5}$이다. 따라서 두 거리의 합은$\displaystyle d(\theta)=d_1(\theta)+d_2(\theta)=\frac{14}{5}+\frac{\cos\theta-7\sin\theta}{5}$이다. 도함수를 구하면$\displaystyle d^{\prime}(\theta)=\frac15(-\sin\theta-7\cos\theta)$이므로, $\displaystyle d(\theta)$의 극값은 $\displaystyle \sin\theta=-7\cos\theta$일 때 발생한다. 이 때$\displaystyle \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$로부터 $\displaystyle \cos\theta=\pm\frac1{\sqrt{50}},\ \sin\theta=\mp\frac7{\sqrt{50}},\ d(\theta)=\frac{14}{5}\pm\sqrt2$이다.따라서 $\displaystyle d_1+d_2$가 최소가 되는 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac1{\sqrt{50}},\frac7{\sqrt{50}}\right)$이다.