자연계열 1번

문제 1-A(1) 적분구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle \left|t-\frac12\right|=\begin{cases}-t+\frac12&\left(0\le t\le\frac12\right)\\t-\frac12&\left(\frac12<t\le1\right)\end{cases}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}F\left(\frac12\right)&=\int_0^{\frac12}2t\left(-t+\frac12\right)\,dt+\int_{\frac12}^12t\left(t-\frac12\right)\,dt=\Biggl[-\frac23t^3+\frac12t^2\Biggr]_0^{\frac12}+\Biggl[\frac23t^3-\frac12t^2\Biggr]_{\frac12}^1\\&=-\frac23\left(\frac12\right)^3+\frac12\left(\frac12\right)^2+\frac23\left(1-\frac1{2^3}\right)-\frac12\left(\frac34\right)=\frac14\end{aligned}$

(2) $\displaystyle \int_0^{\frac12}f(t)\,dt=A$와 $\displaystyle \int_{\frac12}^1f(t)\,dt=B$인 연속함수 $\displaystyle f(t)$가 주어졌을 때, 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle F(x)$는 다음과 같이 정리된다.$\displaystyle \begin{aligned}F(x)&=\int_0^x f(t)(-t+x)\,dt+\int_x^1 f(t)(t-x)\,dt\\&=\int_0^x-tf(t)\,dt+x\int_0^x f(t)\,dt+\int_x^1tf(t)\,dt-x\int_x^1 f(t)\,dt\\&=\int_0^x-tf(t)\,dt+x\int_0^x f(t)\,dt-\int_1^xtf(t)\,dt+x\int_1^x f(t)\,dt\end{aligned}$$\displaystyle F(x)$를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}F^{\prime}(x)&=-xf(x)+\int_0^x f(t)\,dt+xf(x)-xf(x)+\int_1^x f(t)\,dt+xf(x)\\&=\int_0^x f(t)\,dt-\int_x^1 f(t)\,dt\end{aligned}$이므로, $\displaystyle F^{\prime}\left(\frac12\right)=\int_0^{\frac12}f(t)\,dt-\int_{\frac12}^1 f(t)\,dt=A-B$이다.

문제 1-B(1) 평면 $\displaystyle S_2$는 두 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$의 중점 $\displaystyle (2,0,1)$을 지나고 법선벡터가 $\displaystyle \vec n=(1,2,-2)$($\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$에 평행)이므로, 평면 $\displaystyle S_2$의 방정식은$\displaystyle (x-2)+2y-2(z-1)=0$, 즉 $\displaystyle x+2y-2z=0$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P(4,-3,8)$을 지나고 평면 $\displaystyle S_2$에 수직인 직선 위의 점들은$\displaystyle \mathrm T(x,y,z)=(4+t,-3+2t,8-2t)$(단, $\displaystyle t$는 실수)로 표현되고 이를 평면의 식에 대입하면$\displaystyle (4+t)+2(-3+2t)-2(8-2t)=9t-18=0$이 된다. $\displaystyle t=2$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 평면 $\displaystyle S_2$에 내린 수선의 발은 $\displaystyle \mathrm T(6,1,4)$이다.

(2) 원 $\displaystyle \alpha$의 중심 $\displaystyle \mathrm C(x,y,z)$는 구 $\displaystyle S_1$의 중심 $\displaystyle \mathrm C_1(3,1,-2)$를 평면 $\displaystyle S_2$에 내린 수선의 발이다.구의 중심 $\displaystyle \mathrm C_1$을 지나고 평면 $\displaystyle S_2$에 수직인 직선 위의 점들은$\displaystyle \mathrm C(x,y,z)=(3+t,1+2t,-2-2t)$(단, $\displaystyle t$는 실수)로 표현되고, 이를 평면의 식에 대입하면$\displaystyle (3+t)+2(1+2t)-2(-2-2t)=9t+9=0$이다. $\displaystyle t=-1$이므로, 원 $\displaystyle \alpha$의 중심은 $\displaystyle \mathrm C(2,-1,0)$이다.구 $\displaystyle S_1$의 반지름의 길이는 $\displaystyle r_1=5$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm C_1\mathrm C}=3$이므로 원 $\displaystyle \alpha$의 반지름의 길이 $\displaystyle r$은 다음과 같다.$\displaystyle r=\sqrt{r_1^2-\overline{\mathrm C_1\mathrm C}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

(3) 점 $\displaystyle \mathrm P(4,-3,8)$과 원 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 사이의 거리의 최솟값은 점 $\displaystyle \mathrm P$의 평면 $\displaystyle S_2$로의 수선의 발 $\displaystyle \mathrm T(6,1,4)$와 원 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 사이의 거리의 최솟값에 의해 결정된다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm T$와 원 $\displaystyle \alpha$의 중심 $\displaystyle \mathrm C$를 연결한 선분 $\displaystyle \mathrm{CT}$와 원 $\displaystyle \alpha$가 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm G$라고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm P$와 원 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}}$이다. (그림 1 참고)$\displaystyle \overline{\mathrm{PG}}^2=\overline{\mathrm{PT}}^2+\overline{\mathrm{TG}}^2$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{TG}}$의 값을 구하면 된다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CT}}=6$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}=r=4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{TG}}=2$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$와 원 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 사이의 거리의 최솟값은 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PG}}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$