경상계열 2번

[문항 1] (1)수입 : <g0>$\displaystyle R=PQ=(-Q+13)Q=-Q^2+13Q$</g0>비용 : <g1>$\displaystyle C=3Q+3$</g1>이윤 : <g2>$\displaystyle \Pi=R-C=-Q^2+13-(3Q+3)=-Q^2+10Q-3$</g2>Correction. 이윤을 구하는 중간식의 $\displaystyle -Q^2+13$은 $\displaystyle -Q^2+13Q$의 오기이다. 수입이 $\displaystyle R=(-Q+13)Q$이므로 비용 $\displaystyle 3Q+3$을 빼면 $\displaystyle -Q^2+10Q-3$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문항 1] (2)수입식을 완전제곱꼴로 변형<g3>$\displaystyle R=-Q^2+13Q=-(Q-\frac{13}2)^2+\frac{169}4$</g3>함수 전영역에서 최대값은 $\displaystyle Q=\frac{13}2$이나제약조건($\displaystyle 0\le Q\le6$)에 의해 <g4>최대값은 $\displaystyle Q=6$에서 달성된다.</g4>이 때 수입은 다음과 같이 42가 된다.<g5>$\displaystyle R(Q=6)=-6^2+13(6)=42$.</g5>월기준 판매량($\displaystyle Q$)이 6일 때, 수입($\displaystyle R$)은 최대값 42를 갖는다.

[문항 1] (3)이윤함수를 완전제곱꼴로 변형<g6>$\displaystyle \Pi=-Q^2+10Q-3=-(Q-5)^2+22$</g6>이윤함수 전영역에서 최대값은 $\displaystyle Q$가 5일 때 얻어지며제약조건 ($\displaystyle 0\le Q\le6$) 범위 내에 있으므로<g7>최대값은 $\displaystyle Q=5$에서 달성되며</g7> <g8>이 때 이윤은 22이다.</g8>월기준 판매량($\displaystyle Q$)이 5일 때 이윤($\displaystyle \Pi$)은 최대값 22를 갖는다.

[문항 2] (1)수입 : $\displaystyle R=5Q$비용 : $\displaystyle C=3Q+3$이윤 : <g9>$\displaystyle \Pi=R-C=5Q-(3Q+3)=2Q-3$</g9>손실을 보지 않으려면 즉, 이윤이 $\displaystyle \Pi\ge0$이기 위해서는 <g10>$\displaystyle Q\ge\frac32$이어야 한다.</g10>월기준 판매량은 $\displaystyle \frac32$kg 이상이 되어야 한다.

[문항 2] (2)손실을 보지 않기 위해서는 $\displaystyle \frac32$이상을 판매해야 하므로 3/2이상인 확률을 넓이로 구하되 정적분을 이용한다.<g11>$\displaystyle \int_{\frac32}^6f(Q)dQ$$\displaystyle =\int_{\frac32}^2(\frac16Q)dQ+\int_2^6(-\frac1{12}Q+\frac12)dQ$</g11>$\displaystyle =\Biggl[\frac1{12}Q^2\Biggr]_{\frac32}^2+\Biggl[-\frac1{24}Q^2+\frac12Q\Biggr]_2^6$<g12>$\displaystyle =\frac7{48}+\frac46=\frac{13}{16}$</g12>또는 3/2이하의 확률을 1에서 차감하여 구한다.$\displaystyle 1-\int_0^{\frac32}(\frac16Q)dQ=1-\Biggl[\frac1{12}Q^2\Biggr]_0^{\frac32}=1-\frac1{12}(\frac94)=1-\frac3{16}=\frac{13}{16}$손실을 보지 않을 확률은 13/16이다.

[문항 2] (2)Correction. 대학 예시답안에서 평균 판매량을 구하는 마지막 단락의 제목 “[문항 2] (2)”는 “[문항 2] (3)”의 오기이다. 평균 판매량을 묻는 문제는 (3)이며, 이 단락의 계산값 $\displaystyle E(Q)=\frac83$도 (3)의 답이다. 원문 표기는 그대로 실었다.평균 판매량 $\displaystyle E(Q)$는 다음과 같다.<g13>$\displaystyle E(Q)=\int_0^6Qf(Q)dQ$$\displaystyle =\int_0^2(\frac16Q^2)dQ+\int_2^6(-\frac1{12}Q^2+\frac12Q)dQ$</g13>$\displaystyle =\Biggl[\frac1{18}Q^3\Biggr]_0^2+\Biggl[-\frac1{36}Q^3+\frac14Q^2\Biggr]_2^6$$\displaystyle =\frac1{18}(8-0)+(-\frac1{36})(216-8)+\frac14(36-4)$$\displaystyle =\frac8{18}+(-\frac{208}{36})+8=\frac{8-104+144}{18}=\frac{48}{18}=$<g14>$\displaystyle \frac83$</g14>평균 판매량은 8/3이다.